Theorem lfladd0l 33379

Description: Functional addition with the zero functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladd0l.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd0l.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladd0l.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
lfladd0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lfladd0l.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladd0l.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfladd0l.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfladd0l	⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘𝑓 + 𝐺) = 𝐺)

Proof of Theorem lfladd0l

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfladd0l.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		fvex 6113	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2684	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
5		lfladd0l.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lfladd0l.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7		lfladd0l.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
8		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		lfladd0l.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
10	7, 8, 1, 9	lflf 33368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
11	5, 6, 10	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
12		lfladd0l.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		fvex 6113	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
14	12, 13	eqeltri 2684	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
16	7	lmodring 18694	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
17		ringgrp 18375	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
18	5, 16, 17	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
19		lfladd0l.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	8, 19, 12	grplid 17275	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
21	18, 20	sylan 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
22	4, 11, 15, 21	caofid0l 6823	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘𝑓 + 𝐺) = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  Scalarcsca 15771  0_gc0g 15923  Grpcgrp 17245  Ringcrg 18370  LModclmod 18686  LFnlclfn 33362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-map 7746  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lfl 33363

This theorem is referenced by:  ldualgrplem  33450  ldual0v  33455