Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflnegcl 33380
 Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 33451, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflnegcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflnegcl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lflnegcl.i 𝐼 = (invg𝑅)
lflnegcl.n 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (𝐼‘(𝐺𝑥)))
lflnegcl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflnegcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lflnegcl.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lflnegcl (𝜑𝑁𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem lflnegcl
Dummy variables 𝑦 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflnegcl.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lflnegcl.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
32lmodring 18694 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 ringgrp 18375 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ Grp)
81adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
9 lflnegcl.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝐺𝐹)
11 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
12 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 lflnegcl.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 lflnegcl.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
152, 12, 13, 14lflcl 33369 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
168, 10, 11, 15syl3anc 1318 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
17 lflnegcl.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝑅)
1812, 17grpinvcl 17290 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
197, 16, 18syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐼‘(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
20 lflnegcl.n . . 3 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (𝐼‘(𝐺𝑥)))
2119, 20fmptd 6292 . 2 (𝜑𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅))
22 ringabl 18403 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
234, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
2423adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Abel)
254adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
26 simpr1 1060 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘𝑅))
271adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
289adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝐺𝐹)
29 simpr2 1061 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦𝑉)
302, 12, 13, 14lflcl 33369 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦𝑉) → (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
32 eqid 2610 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3312, 32ringcl 18384 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
3425, 26, 31, 33syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
35 simpr3 1062 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
362, 12, 13, 14lflcl 33369 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑧𝑉) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
3727, 28, 35, 36syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3912, 38, 17ablinvadd 18038 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
4024, 34, 37, 39syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐼‘((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
41 eqid 2610 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
42 eqid 2610 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
4313, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14lfli 33366 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧)))
4427, 28, 26, 29, 35, 43syl113anc 1330 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧)))
4544fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))) = (𝐼‘((𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))(+g𝑅)(𝐺𝑧))))
4612, 32, 17, 25, 26, 31ringmneg2 18420 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦))) = (𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦))))
4746oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))) = ((𝐼‘(𝑘(.r𝑅)(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
4840, 45, 473eqtr4d 2654 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
4913, 2, 42, 12lmodvscl 18703 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
5027, 26, 29, 49syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
5113, 41lmodvacl 18700 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉𝑧𝑉) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
5227, 50, 35, 51syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
53 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)))
5453fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) → (𝐼‘(𝐺𝑥)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
55 fvex 6113 . . . . . 6 (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))) ∈ V
5654, 20, 55fvmpt 6191 . . . . 5 (((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
5752, 56syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = (𝐼‘(𝐺‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧))))
58 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑦))
5958fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝐺𝑥)) = (𝐼‘(𝐺𝑦)))
60 fvex 6113 . . . . . . . 8 (𝐼‘(𝐺𝑦)) ∈ V
6159, 20, 60fvmpt 6191 . . . . . . 7 (𝑦𝑉 → (𝑁𝑦) = (𝐼‘(𝐺𝑦)))
6229, 61syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁𝑦) = (𝐼‘(𝐺𝑦)))
6362oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦)) = (𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦))))
64 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
6564fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐼‘(𝐺𝑥)) = (𝐼‘(𝐺𝑧)))
66 fvex 6113 . . . . . . 7 (𝐼‘(𝐺𝑧)) ∈ V
6765, 20, 66fvmpt 6191 . . . . . 6 (𝑧𝑉 → (𝑁𝑧) = (𝐼‘(𝐺𝑧)))
6835, 67syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁𝑧) = (𝐼‘(𝐺𝑧)))
6963, 68oveq12d 6567 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑦)))(+g𝑅)(𝐼‘(𝐺𝑧))))
7048, 57, 693eqtr4d 2654 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))
7170ralrimivvva 2955 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))
7213, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14islfl 33365 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁𝐹 ↔ (𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))))
731, 72syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁𝐹 ↔ (𝑁:𝑉⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦𝑉𝑧𝑉 (𝑁‘((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)) = ((𝑘(.r𝑅)(𝑁𝑦))(+g𝑅)(𝑁𝑧)))))
7421, 71, 73mpbir2and 959 1 (𝜑𝑁𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  Abelcabl 18017  Ringcrg 18370  LModclmod 18686  LFnlclfn 33362 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lfl 33363 This theorem is referenced by:  ldualgrplem  33450
 Copyright terms: Public domain W3C validator