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Theorem lflnegcl 29558
Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 29629, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflnegcl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflnegcl.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lflnegcl.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
lflnegcl.n  |-  N  =  ( x  e.  V  |->  ( I `  ( G `  x )
) )
lflnegcl.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lflnegcl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lflnegcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lflnegcl  |-  ( ph  ->  N  e.  F )
Distinct variable groups:    x, G    x, I    x, R    x, V    x, W    ph, x
Allowed substitution hints:    F( x)    N( x)

Proof of Theorem lflnegcl
Dummy variables  y 
k  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflnegcl.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lflnegcl.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  W )
32lmodrng 15913 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
41, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 rnggrp 15624 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  e.  Grp )
81adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
9 lflnegcl.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
109adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  G  e.  F )
11 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
12 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
13 lflnegcl.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
14 lflnegcl.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  W )
152, 12, 13, 14lflcl 29547 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  R
) )
168, 10, 11, 15syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  R
) )
17 lflnegcl.i . . . . 5  |-  I  =  ( inv g `  R )
1812, 17grpinvcl 14805 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
I `  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
197, 16, 18syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
I `  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
20 lflnegcl.n . . 3  |-  N  =  ( x  e.  V  |->  ( I `  ( G `  x )
) )
2119, 20fmptd 5852 . 2  |-  ( ph  ->  N : V --> ( Base `  R ) )
22 rngabl 15648 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
234, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Abel )
2423adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  R  e.  Abel )
254adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  R  e.  Ring )
26 simpr1 963 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  k  e.  ( Base `  R
) )
271adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  W  e.  LMod )
289adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  G  e.  F )
29 simpr2 964 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  y  e.  V )
302, 12, 13, 14lflcl 29547 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  y  e.  V )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  R
) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  ( G `  y )  e.  ( Base `  R
) )
32 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
3312, 32rngcl 15632 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  k  e.  ( Base `  R
)  /\  ( G `  y )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( k
( .r `  R
) ( G `  y ) )  e.  ( Base `  R
) )
3425, 26, 31, 33syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
k ( .r `  R ) ( G `
 y ) )  e.  ( Base `  R
) )
35 simpr3 965 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  z  e.  V )
362, 12, 13, 14lflcl 29547 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  z  e.  V )  ->  ( G `  z )  e.  ( Base `  R
) )
3727, 28, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  ( G `  z )  e.  ( Base `  R
) )
38 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
3912, 38, 17ablinvadd 15389 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  (
k ( .r `  R ) ( G `
 y ) )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( G `  z )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( I `  ( ( k ( .r `  R ) ( G `  y
) ) ( +g  `  R ) ( G `
 z ) ) )  =  ( ( I `  ( k ( .r `  R
) ( G `  y ) ) ) ( +g  `  R
) ( I `  ( G `  z ) ) ) )
4024, 34, 37, 39syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
I `  ( (
k ( .r `  R ) ( G `
 y ) ) ( +g  `  R
) ( G `  z ) ) )  =  ( ( I `
 ( k ( .r `  R ) ( G `  y
) ) ) ( +g  `  R ) ( I `  ( G `  z )
) ) )
41 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
42 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
4313, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14lfli 29544 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
k  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( G `  (
( k ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( k ( .r `  R
) ( G `  y ) ) ( +g  `  R ) ( G `  z
) ) )
4427, 28, 26, 29, 35, 43syl113anc 1196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  ( G `  ( (
k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( k ( .r `  R
) ( G `  y ) ) ( +g  `  R ) ( G `  z
) ) )
4544fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
I `  ( G `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )  =  ( I `  ( ( k ( .r `  R ) ( G `
 y ) ) ( +g  `  R
) ( G `  z ) ) ) )
4612, 32, 17, 25, 26, 31rngmneg2 15661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
k ( .r `  R ) ( I `
 ( G `  y ) ) )  =  ( I `  ( k ( .r
`  R ) ( G `  y ) ) ) )
4746oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
( k ( .r
`  R ) ( I `  ( G `
 y ) ) ) ( +g  `  R
) ( I `  ( G `  z ) ) )  =  ( ( I `  (
k ( .r `  R ) ( G `
 y ) ) ) ( +g  `  R
) ( I `  ( G `  z ) ) ) )
4840, 45, 473eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
I `  ( G `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )  =  ( ( k ( .r
`  R ) ( I `  ( G `
 y ) ) ) ( +g  `  R
) ( I `  ( G `  z ) ) ) )
4913, 2, 42, 12lmodvscl 15922 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V )  ->  (
k ( .s `  W ) y )  e.  V )
5027, 26, 29, 49syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
k ( .s `  W ) y )  e.  V )
5113, 41lmodvacl 15919 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
k ( .s `  W ) y )  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  (
( k ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  V )
5227, 50, 35, 51syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
( k ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  V )
53 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( k ( .s `  W
) y ) ( +g  `  W ) z )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )
5453fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( k ( .s `  W
) y ) ( +g  `  W ) z )  ->  (
I `  ( G `  x ) )  =  ( I `  ( G `  ( (
k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) ) )
55 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( I `
 ( G `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) )  e.  _V
5654, 20, 55fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( ( ( k ( .s
`  W ) y ) ( +g  `  W
) z )  e.  V  ->  ( N `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( I `
 ( G `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) ) ) )
5752, 56syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  ( N `  ( (
k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( I `  ( G `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) ) ) )
58 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
5958fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
I `  ( G `  x ) )  =  ( I `  ( G `  y )
) )
60 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( I `
 ( G `  y ) )  e. 
_V
6159, 20, 60fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  V  ->  ( N `  y )  =  ( I `  ( G `  y ) ) )
6229, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  ( N `  y )  =  ( I `  ( G `  y ) ) )
6362oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
k ( .r `  R ) ( N `
 y ) )  =  ( k ( .r `  R ) ( I `  ( G `  y )
) ) )
64 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
6564fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
I `  ( G `  x ) )  =  ( I `  ( G `  z )
) )
66 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( I `
 ( G `  z ) )  e. 
_V
6765, 20, 66fvmpt 5765 . . . . . 6  |-  ( z  e.  V  ->  ( N `  z )  =  ( I `  ( G `  z ) ) )
6835, 67syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  ( N `  z )  =  ( I `  ( G `  z ) ) )
6963, 68oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  (
( k ( .r
`  R ) ( N `  y ) ) ( +g  `  R
) ( N `  z ) )  =  ( ( k ( .r `  R ) ( I `  ( G `  y )
) ) ( +g  `  R ) ( I `
 ( G `  z ) ) ) )
7048, 57, 693eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
) )  ->  ( N `  ( (
k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( k ( .r `  R
) ( N `  y ) ) ( +g  `  R ) ( N `  z
) ) )
7170ralrimivvva 2759 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( N `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W
) z ) )  =  ( ( k ( .r `  R
) ( N `  y ) ) ( +g  `  R ) ( N `  z
) ) )
7213, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14islfl 29543 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N  e.  F  <->  ( N : V --> ( Base `  R
)  /\  A. k  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( N `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( k ( .r `  R ) ( N `
 y ) ) ( +g  `  R
) ( N `  z ) ) ) ) )
731, 72syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  F  <->  ( N : V --> ( Base `  R )  /\  A. k  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  V  A. z  e.  V  ( N `  ( ( k ( .s `  W ) y ) ( +g  `  W ) z ) )  =  ( ( k ( .r `  R ) ( N `
 y ) ) ( +g  `  R
) ( N `  z ) ) ) ) )
7421, 71, 73mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  N  e.  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641   Abelcabel 15368   Ringcrg 15615   LModclmod 15905  LFnlclfn 29540
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  29628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-lmod 15907  df-lfl 29541
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