Theorem lflcl 33369

Description: A linear functional value is a scalar. (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflf.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflf.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflcl	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflf.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		lflf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
3		lflf.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lflf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lflf 33368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
6	5	3adant3 1074	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
7		simp3 1056	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	6, 7	ffvelrnd 6268	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771  LFnlclfn 33362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-lfl 33363

This theorem is referenced by:  lfl0  33370  lfladd  33371  lflsub  33372  lflmul  33373  lfl1  33375  lfladdcl  33376  lflnegcl  33380  lflvscl  33382  lkrsc  33402  eqlkr  33404  eqlkr3  33406  lkrlsp  33407  ldualvsubval  33462  dochkr1  35785  dochkr1OLDN  35786  lcfl7lem  35806  lclkrlem2m  35826  lclkrlem2o  35828  lclkrlem2p  35829  lcfrlem1  35849  lcfrlem2  35850  lcfrlem3  35851  lcfrlem29  35878  lcfrlem31  35880  lcfrlem33  35882  lcdvbasecl  35903