Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl0 33370
 Description: A linear functional is zero at the zero vector. (lnfn0i 28285 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0.o 0 = (0g𝐷)
lfl0.z 𝑍 = (0g𝑊)
lfl0.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lfl0 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺𝑍) = 0 )

Proof of Theorem lfl0
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simpr 476 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺𝐹)
3 lfl0.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5 eqid 2610 . . . . . . 7 (1r𝐷) = (1r𝐷)
63, 4, 5lmod1cl 18713 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
76adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
8 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9 lfl0.z . . . . . . 7 𝑍 = (0g𝑊)
108, 9lmod0vcl 18715 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))
12 eqid 2610 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
13 eqid 2610 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
14 eqid 2610 . . . . . 6 (+g𝐷) = (+g𝐷)
15 eqid 2610 . . . . . 6 (.r𝐷) = (.r𝐷)
16 lfl0.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
178, 12, 3, 13, 4, 14, 15, 16lfli 33366 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ ((1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍)(+g𝑊)𝑍)) = (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑍))(+g𝐷)(𝐺𝑍)))
181, 2, 7, 11, 11, 17syl113anc 1330 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍)(+g𝑊)𝑍)) = (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑍))(+g𝐷)(𝐺𝑍)))
198, 3, 13, 4lmodvscl 18703 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊))
201, 7, 11, 19syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊))
218, 12, 9lmod0vrid 18717 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍) ∈ (Base‘𝑊)) → (((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍)(+g𝑊)𝑍) = ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍))
2220, 21syldan 486 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍)(+g𝑊)𝑍) = ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍))
238, 3, 13, 5lmodvs1 18714 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍) = 𝑍)
2411, 23syldan 486 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍) = 𝑍)
2522, 24eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍)(+g𝑊)𝑍) = 𝑍)
2625fveq2d 6107 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑍)(+g𝑊)𝑍)) = (𝐺𝑍))
273lmodring 18694 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
2827adantr 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐷 ∈ Ring)
293, 4, 8, 16lflcl 33369 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑍 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐺𝑍) ∈ (Base‘𝐷))
3011, 29mpd3an3 1417 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺𝑍) ∈ (Base‘𝐷))
314, 15, 5ringlidm 18394 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → ((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑍)) = (𝐺𝑍))
3228, 30, 31syl2anc 691 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑍)) = (𝐺𝑍))
3332oveq1d 6564 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑍))(+g𝐷)(𝐺𝑍)) = ((𝐺𝑍)(+g𝐷)(𝐺𝑍)))
3418, 26, 333eqtr3d 2652 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺𝑍) = ((𝐺𝑍)(+g𝐷)(𝐺𝑍)))
3534oveq1d 6564 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐺𝑍)(-g𝐷)(𝐺𝑍)) = (((𝐺𝑍)(+g𝐷)(𝐺𝑍))(-g𝐷)(𝐺𝑍)))
36 ringgrp 18375 . . . 4 (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
3728, 36syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐷 ∈ Grp)
38 lfl0.o . . . 4 0 = (0g𝐷)
39 eqid 2610 . . . 4 (-g𝐷) = (-g𝐷)
404, 38, 39grpsubid 17322 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺𝑍)(-g𝐷)(𝐺𝑍)) = 0 )
4137, 30, 40syl2anc 691 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐺𝑍)(-g𝐷)(𝐺𝑍)) = 0 )
424, 14, 39grppncan 17329 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑍) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑍) ∈ (Base‘𝐷)) → (((𝐺𝑍)(+g𝐷)(𝐺𝑍))(-g𝐷)(𝐺𝑍)) = (𝐺𝑍))
4337, 30, 30, 42syl3anc 1318 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (((𝐺𝑍)(+g𝐷)(𝐺𝑍))(-g𝐷)(𝐺𝑍)) = (𝐺𝑍))
4435, 41, 433eqtr3rd 2653 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺𝑍) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  1rcur 18324  Ringcrg 18370  LModclmod 18686  LFnlclfn 33362 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lfl 33363 This theorem is referenced by:  lflmul  33373  lkrlss  33400  dochkr1  35785  lcfrlem28  35877  hdmapip0  36225
 Copyright terms: Public domain W3C validator