Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsubval 33462
 Description: The value of the value of vector subtraction in the dual of a vector space. TODO: shorten with ldualvsub 33460? (Requires 𝐷 to oppr conversion.) (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsubval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvsubval.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsubval.s 𝑆 = (-g𝑅)
ldualvsubval.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubval.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubval.m = (-g𝐷)
ldualvsubval.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubval.g (𝜑𝐺𝐹)
ldualvsubval.h (𝜑𝐻𝐹)
ldualvsubval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
ldualvsubval (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)))

Proof of Theorem ldualvsubval
StepHypRef Expression
1 ldualvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2 ldualvsubval.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
31, 2lduallmod 33458 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
4 ldualvsubval.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6 ldualvsubval.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
74, 1, 5, 2, 6ldualelvbase 33432 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8 ldualvsubval.h . . . . 5 (𝜑𝐻𝐹)
94, 1, 5, 2, 8ldualelvbase 33432 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10 eqid 2610 . . . . 5 (+g𝐷) = (+g𝐷)
11 ldualvsubval.m . . . . 5 = (-g𝐷)
12 eqid 2610 . . . . 5 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13 eqid 2610 . . . . 5 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
14 eqid 2610 . . . . 5 (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15 eqid 2610 . . . . 5 (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
165, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsubval2 18741 . . . 4 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 𝐻) = (𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)))
173, 7, 9, 16syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)))
1817fveq1d 6105 . 2 (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻))‘𝑋))
19 ldualvsubval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
20 ldualvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
21 eqid 2610 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
22 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2312lmodfgrp 18695 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
243, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
2512lmodring 18694 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
263, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
27 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
2827, 15ringidcl 18391 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝐷) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
3027, 14grpinvcl 17290 . . . . . 6 (((Scalar‘𝐷) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))) → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
3124, 29, 30syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
3220, 22, 1, 12, 27, 2ldualsbase 33438 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘𝑅))
3331, 32eleqtrd 2690 . . . 4 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
344, 20, 22, 1, 13, 2, 33, 8ldualvscl 33444 . . 3 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
35 ldualvsubval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3619, 20, 21, 4, 1, 10, 2, 6, 34, 35ldualvaddval 33436 . 2 (𝜑 → ((𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻))‘𝑋) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋)))
37 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
3820, 37, 1, 12, 14, 2ldualneg 33454 . . . . . . . 8 (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg𝑅))
39 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4020, 39, 1, 12, 15, 2ldual1 33453 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r𝑅))
4138, 40fveq12d 6109 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
4241oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐷)𝐻))
4342fveq1d 6105 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋))
44 eqid 2610 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4520lmodring 18694 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
462, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 18375 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
4920, 22, 39lmod1cl 18713 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
502, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5122, 37grpinvcl 17290 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
5248, 50, 51syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
534, 19, 20, 22, 44, 1, 13, 2, 52, 8, 35ldualvsval 33443 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((𝐻𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))))
5420, 22, 19, 4lflcl 33369 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹𝑋𝑉) → (𝐻𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
552, 8, 35, 54syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
5622, 44, 39, 37, 46, 55rngnegr 18418 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))) = ((invg𝑅)‘(𝐻𝑋)))
5743, 53, 563eqtrd 2648 . . . 4 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((invg𝑅)‘(𝐻𝑋)))
5857oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐻𝑋))))
5920, 22, 19, 4lflcl 33369 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
602, 6, 35, 59syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
61 ldualvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝑅)
6222, 21, 37, 61grpsubval 17288 . . . 4 (((𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐻𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐻𝑋))))
6360, 55, 62syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐻𝑋))))
6458, 63eqtr4d 2647 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)))
6518, 36, 643eqtrd 2648 1 (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  -gcsg 17247  1rcur 18324  Ringcrg 18370  LModclmod 18686  LFnlclfn 33362  LDualcld 33428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-lmod 18688  df-lfl 33363  df-ldual 33429 This theorem is referenced by:  lcfrlem1  35849
 Copyright terms: Public domain W3C validator