Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflmul 33373
Description: Property of a linear functional. (lnfnmuli 28287 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflmul.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflmul.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflmul.t × = (.r𝐷)
lflmul.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflmul.s · = ( ·𝑠𝑊)
lflmul.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lflmul ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))

Proof of Theorem lflmul
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simp2 1055 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝐺𝐹)
3 simp3l 1082 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝑅𝐾)
4 simp3r 1083 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝑋𝑉)
5 lflmul.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
75, 6lmod0vcl 18715 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
873ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
9 eqid 2610 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
10 lflmul.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lflmul.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
12 lflmul.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐷)
13 eqid 2610 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
14 lflmul.t . . . 4 × = (.r𝐷)
15 lflmul.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
165, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15lfli 33366 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))))
171, 2, 3, 4, 8, 16syl113anc 1330 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))))
185, 10, 11, 12lmodvscl 18703 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
191, 3, 4, 18syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
205, 9, 6lmod0vrid 18717 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = (𝑅 · 𝑋))
211, 19, 20syl2anc 691 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊)) = (𝑅 · 𝑋))
2221fveq2d 6107 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(0g𝑊))) = (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)))
23 eqid 2610 . . . . . 6 (0g𝐷) = (0g𝐷)
2410, 23, 6, 15lfl0 33370 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g𝐷))
25243adant3 1074 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g𝐷))
2625oveq2d 6565 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))) = ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(0g𝐷)))
2710lmodfgrp 18695 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
28273ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → 𝐷 ∈ Grp)
2910, 12, 5, 15lflcl 33369 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐾)
30293adant3l 1314 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐾)
3110, 12, 14lmodmcl 18698 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾 ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝐾) → (𝑅 × (𝐺𝑋)) ∈ 𝐾)
321, 3, 30, 31syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝑅 × (𝐺𝑋)) ∈ 𝐾)
3312, 13, 23grprid 17276 . . . 4 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑅 × (𝐺𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(0g𝐷)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
3428, 32, 33syl2anc 691 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(0g𝐷)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
3526, 34eqtrd 2644 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑅 × (𝐺𝑋))(+g𝐷)(𝐺‘(0g𝑊))) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
3617, 22, 353eqtr3d 2652 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (𝐺‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 × (𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  LModclmod 18686  LFnlclfn 33362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lfl 33363
This theorem is referenced by:  lfl1  33375  lfladdcl  33376  eqlkr  33404  lkrlsp  33407  dochkr1  35785  dochkr1OLDN  35786  lcfl7lem  35806  lclkrlem2m  35826  hdmaplnm1  36219
  Copyright terms: Public domain W3C validator