Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqlkr 33404
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
eqlkr.t · = (.r𝐷)
eqlkr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
eqlkr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
eqlkr ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝐷   𝑥,𝐹   𝐺,𝑟,𝑥   𝐻,𝑟,𝑥   𝑉,𝑟,𝑥   𝐾,𝑟   𝑥,𝐿   · ,𝑟   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐹(𝑟)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem eqlkr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1057 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 18927 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3 eqlkr.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
43lmodring 18694 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
52, 4syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ Ring)
61, 5syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝐷 ∈ Ring)
7 eqlkr.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐷)
8 eqid 2610 . . . . 5 (1r𝐷) = (1r𝐷)
97, 8ringidcl 18391 . . . 4 (𝐷 ∈ Ring → (1r𝐷) ∈ 𝐾)
106, 9syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (1r𝐷) ∈ 𝐾)
11 simp11 1084 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
1211, 5syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
13 simp12l 1167 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐺𝐹)
14 simp3 1056 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
15 eqlkr.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
16 eqlkr.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
173, 7, 15, 16lflcl 33369 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
1811, 13, 14, 17syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
19 eqlkr.t . . . . . . . 8 · = (.r𝐷)
207, 19, 8ringridm 18395 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐺𝑥) · (1r𝐷)) = (𝐺𝑥))
2112, 18, 20syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥) · (1r𝐷)) = (𝐺𝑥))
22 simp2 1055 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
23 simp13 1086 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻))
2411, 2syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
25 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝐷) = (0g𝐷)
26 eqlkr.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (LKer‘𝑊)
273, 25, 15, 16, 26lkr0f 33399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2824, 13, 27syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2922, 28mpbird 246 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝐺) = 𝑉)
3023, 29eqtr3d 2646 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝐻) = 𝑉)
31 simp12r 1168 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐻𝐹)
323, 25, 15, 16, 26lkr0f 33399 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹) → ((𝐿𝐻) = 𝑉𝐻 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3324, 31, 32syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐿𝐻) = 𝑉𝐻 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3430, 33mpbid 221 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐻 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
3522, 34eqtr4d 2647 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐺 = 𝐻)
3635fveq1d 6105 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) = (𝐻𝑥))
3721, 36eqtr2d 2645 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷)))
38373expia 1259 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝑥𝑉 → (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷))))
3938ralrimiv 2948 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷)))
40 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑟 = (1r𝐷) → ((𝐺𝑥) · 𝑟) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷)))
4140eqeq2d 2620 . . . . 5 (𝑟 = (1r𝐷) → ((𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟) ↔ (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷))))
4241ralbidv 2969 . . . 4 (𝑟 = (1r𝐷) → (∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷))))
4342rspcev 3282 . . 3 (((1r𝐷) ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷))) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
4410, 39, 43syl2anc 691 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
45 simpl1 1057 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑊 ∈ LVec)
46 simpl2l 1107 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝐺𝐹)
47 simpr 476 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
483, 25, 8, 15, 16lfl1 33375 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = (1r𝐷))
4945, 46, 47, 48syl3anc 1318 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = (1r𝐷))
50 simpl1 1057 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷))) → 𝑊 ∈ LVec)
51 simpl2r 1108 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷))) → 𝐻𝐹)
52 simpr2 1061 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷))) → 𝑧𝑉)
533, 7, 15, 16lflcl 33369 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻𝐹𝑧𝑉) → (𝐻𝑧) ∈ 𝐾)
5450, 51, 52, 53syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷))) → (𝐻𝑧) ∈ 𝐾)
55 simp11 1084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
5655, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
57 simp12r 1168 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐻𝐹)
58 simp12l 1167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐺𝐹)
59 simp3 1056 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
603, 7, 15, 16lflcl 33369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
6156, 58, 59, 60syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
62 simp22 1088 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑧𝑉)
63 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
643, 7, 19, 15, 63, 16lflmul 33373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹 ∧ ((𝐺𝑥) ∈ 𝐾𝑧𝑉)) → (𝐻‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)))
6556, 57, 61, 62, 64syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐻‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)))
6665oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐻𝑥)(-g𝐷)(𝐻‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((𝐻𝑥)(-g𝐷)((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))))
6715, 3, 63, 7lmodvscl 18703 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾𝑧𝑉) → ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
6856, 61, 62, 67syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
69 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝐷) = (-g𝐷)
70 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑊) = (-g𝑊)
713, 69, 15, 70, 16lflsub 33372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹 ∧ (𝑥𝑉 ∧ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)) → (𝐻‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((𝐻𝑥)(-g𝐷)(𝐻‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))))
7256, 57, 59, 68, 71syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐻‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((𝐻𝑥)(-g𝐷)(𝐻‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))))
7315, 70lmodvsubcl 18731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑉 ∧ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉) → (𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ 𝑉)
7456, 59, 68, 73syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ 𝑉)
753, 69, 15, 70, 16lflsub 33372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑥𝑉 ∧ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((𝐺𝑥)(-g𝐷)(𝐺‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))))
7656, 58, 59, 68, 75syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((𝐺𝑥)(-g𝐷)(𝐺‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))))
7755, 58, 59, 17syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
783, 7, 19, 15, 63, 16lflmul 33373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ ((𝐺𝑥) ∈ 𝐾𝑧𝑉)) → (𝐺‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) = ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑧)))
7956, 58, 77, 62, 78syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) = ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑧)))
80 simp23 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺𝑧) = (1r𝐷))
8180oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑧)) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷)))
8255, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
8382, 77, 20syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥) · (1r𝐷)) = (𝐺𝑥))
8479, 81, 833eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (𝐺𝑥))
8584oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥)(-g𝐷)(𝐺‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((𝐺𝑥)(-g𝐷)(𝐺𝑥)))
863lmodfgrp 18695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
872, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ Grp)
8855, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
897, 25, 69grpsubid 17322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐺𝑥)(-g𝐷)(𝐺𝑥)) = (0g𝐷))
9088, 77, 89syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥)(-g𝐷)(𝐺𝑥)) = (0g𝐷))
9176, 85, 903eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷))
9215, 3, 25, 16, 26ellkr 33394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ (𝐿𝐺) ↔ ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷))))
9355, 58, 92syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ (𝐿𝐺) ↔ ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷))))
9474, 91, 93mpbir2and 959 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ (𝐿𝐺))
95 simp13 1086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻))
9694, 95eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ (𝐿𝐻))
9715, 3, 25, 16, 26ellkr 33394 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻𝐹) → ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ (𝐿𝐻) ↔ ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐻‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷))))
9855, 57, 97syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ (𝐿𝐻) ↔ ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐻‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷))))
9996, 98mpbid 221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐻‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷)))
10099simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐻‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷))
10172, 100eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐻𝑥)(-g𝐷)(𝐻‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷))
10266, 101eqtr3d 2646 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐻𝑥)(-g𝐷)((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))) = (0g𝐷))
1033, 7, 15, 16lflcl 33369 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻𝐹𝑥𝑉) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐾)
10455, 57, 59, 103syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐾)
105543adant3 1074 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐻𝑧) ∈ 𝐾)
1063, 7, 19lmodmcl 18698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐻𝑧) ∈ 𝐾) → ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)) ∈ 𝐾)
10756, 77, 105, 106syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)) ∈ 𝐾)
1087, 25, 69grpsubeq0 17324 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐻𝑥) ∈ 𝐾 ∧ ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)) ∈ 𝐾) → (((𝐻𝑥)(-g𝐷)((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))) = (0g𝐷) ↔ (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))))
10988, 104, 107, 108syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (((𝐻𝑥)(-g𝐷)((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))) = (0g𝐷) ↔ (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))))
110102, 109mpbid 221 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)))
1111103expia 1259 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷))) → (𝑥𝑉 → (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))))
112111ralrimiv 2948 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷))) → ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)))
113 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝐻𝑧) → ((𝐺𝑥) · 𝑟) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)))
114113eqeq2d 2620 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝐻𝑧) → ((𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟) ↔ (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))))
115114ralbidv 2969 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝐻𝑧) → (∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))))
116115rspcev 3282 . . . . . . 7 (((𝐻𝑧) ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
11754, 112, 116syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷))) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
1181173exp2 1277 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) → (𝑧𝑉 → ((𝐺𝑧) = (1r𝐷) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟)))))
119118imp 444 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝑧𝑉 → ((𝐺𝑧) = (1r𝐷) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))))
120119rexlimdv 3012 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = (1r𝐷) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟)))
12149, 120mpd 15 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
12244, 121pm2.61dane 2869 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  {csn 4125   × cxp 5036  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  1rcur 18324  Ringcrg 18370  LModclmod 18686  LVecclvec 18923  LFnlclfn 33362  LKerclk 33390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lvec 18924  df-lfl 33363  df-lkr 33391
This theorem is referenced by:  eqlkr2  33405  eqlkr3  33406
  Copyright terms: Public domain W3C validator