MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grprid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grprid 17276
Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p + = (+g𝐺)
grplid.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grprid ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid
StepHypRef Expression
1 grpmnd 17252 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2 grpbn0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grplid.p . . 3 + = (+g𝐺)
4 grplid.o . . 3 0 = (0g𝐺)
52, 3, 4mndrid 17135 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
61, 5sylan 487 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248
This theorem is referenced by:  grprcan  17278  grpinvid1  17293  grpinvid2  17294  grpidinv2  17297  grpasscan2  17302  grpidrcan  17303  grpsubid1  17323  grpsubadd  17326  grppncan  17329  mulgaddcom  17387  mulgdirlem  17395  mulgmodid  17404  nmzsubg  17458  0nsg  17462  cntzsubg  17592  cayleylem2  17656  odbezout  17798  lsmdisj2  17918  pj1lid  17937  frgpuplem  18008  abladdsub4  18042  odadd2  18075  gex2abl  18077  ringlz  18410  isabvd  18643  lmod0vrid  18717  lmodfopne  18724  islmhm2  18859  mplcoe1  19286  lsmcss  19855  mdetero  20235  mdetunilem6  20242  opnsubg  21721  tgpconcompeqg  21725  snclseqg  21729  clmvz  22719  deg1add  23667  ogrpaddltbi  29050  ogrpinvlt  29055  archiabllem2a  29079  archiabllem2c  29080  lflmul  33373  cdlemn4  35505  mapdh6cN  36045  hdmap1l6c  36120  hdmapinvlem3  36230  hdmapinvlem4  36231  hdmapglem7b  36238  rnglz  41674
  Copyright terms: Public domain W3C validator