Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflmul Structured version   Unicode version

Theorem lflmul 34527
Description: Property of a linear functional. (lnfnmuli 26835 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflmul.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflmul.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflmul.t  |-  .X.  =  ( .r `  D )
lflmul.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflmul.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lflmul.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lflmul  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( R  .x.  X
) )  =  ( R  .X.  ( G `  X ) ) )

Proof of Theorem lflmul
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 998 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  G  e.  F )
3 simp3l 1025 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  R  e.  K )
4 simp3r 1026 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  X  e.  V )
5 lflmul.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
75, 6lmod0vcl 17415 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 0g
`  W )  e.  V )
873ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( 0g `  W )  e.  V
)
9 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
10 lflmul.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
11 lflmul.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
12 lflmul.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
13 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
14 lflmul.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  D )
15 lflmul.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
165, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15lfli 34520 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V  /\  ( 0g `  W )  e.  V ) )  ->  ( G `  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )  =  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) ) )
171, 2, 3, 4, 8, 16syl113anc 1241 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )  =  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) ) )
185, 10, 11, 12lmodvscl 17403 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( R  .x.  X )  e.  V )
191, 3, 4, 18syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( R  .x.  X )  e.  V
)
205, 9, 6lmod0vrid 17417 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  .x.  X )  e.  V )  ->  (
( R  .x.  X
) ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  ( R  .x.  X
) )
211, 19, 20syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g `  W
) )  =  ( R  .x.  X ) )
2221fveq2d 5860 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )  =  ( G `
 ( R  .x.  X ) ) )
23 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
2410, 23, 6, 15lfl0 34524 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  D
) )
25243adant3 1017 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( 0g `  W
) )  =  ( 0g `  D ) )
2625oveq2d 6297 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) )  =  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( 0g `  D
) ) )
2710lmodfgrp 17395 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Grp )
28273ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  D  e.  Grp )
2910, 12, 5, 15lflcl 34523 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  K )
30293adant3l 1225 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  X )  e.  K
)
3110, 12, 14lmodmcl 17398 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  ( G `  X )  e.  K )  ->  ( R  .X.  ( G `  X ) )  e.  K )
321, 3, 30, 31syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( R  .X.  ( G `  X
) )  e.  K
)
3312, 13, 23grprid 15955 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( R  .X.  ( G `
 X ) )  e.  K )  -> 
( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D
) ( 0g `  D ) )  =  ( R  .X.  ( G `  X )
) )
3428, 32, 33syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( 0g `  D
) )  =  ( R  .X.  ( G `  X ) ) )
3526, 34eqtrd 2484 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) )  =  ( R 
.X.  ( G `  X ) ) )
3617, 22, 353eqtr3d 2492 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( R  .x.  X
) )  =  ( R  .X.  ( G `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   .rcmulr 14575  Scalarcsca 14577   .scvsca 14578   0gc0g 14714   Grpcgrp 15927   LModclmod 17386  LFnlclfn 34516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-lmod 17388  df-lfl 34517
This theorem is referenced by:  lfl1  34529  lfladdcl  34530  eqlkr  34558  lkrlsp  34561  dochkr1  36939  dochkr1OLDN  36940  lcfl7lem  36960  lclkrlem2m  36980  hdmaplnm1  37373
  Copyright terms: Public domain W3C validator