Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflmul Structured version   Unicode version

Theorem lflmul 32710
Description: Property of a linear functional. (lnfnmuli 25446 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflmul.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflmul.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflmul.t  |-  .X.  =  ( .r `  D )
lflmul.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflmul.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lflmul.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lflmul  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( R  .x.  X
) )  =  ( R  .X.  ( G `  X ) ) )

Proof of Theorem lflmul
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 989 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  G  e.  F )
3 simp3l 1016 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  R  e.  K )
4 simp3r 1017 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  X  e.  V )
5 lflmul.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
75, 6lmod0vcl 16975 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 0g
`  W )  e.  V )
873ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( 0g `  W )  e.  V
)
9 eqid 2441 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
10 lflmul.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
11 lflmul.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
12 lflmul.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
13 eqid 2441 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
14 lflmul.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  D )
15 lflmul.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
165, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15lfli 32703 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V  /\  ( 0g `  W )  e.  V ) )  ->  ( G `  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )  =  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) ) )
171, 2, 3, 4, 8, 16syl113anc 1230 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )  =  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) ) )
185, 10, 11, 12lmodvscl 16963 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( R  .x.  X )  e.  V )
191, 3, 4, 18syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( R  .x.  X )  e.  V
)
205, 9, 6lmod0vrid 16977 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  .x.  X )  e.  V )  ->  (
( R  .x.  X
) ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  ( R  .x.  X
) )
211, 19, 20syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g `  W
) )  =  ( R  .x.  X ) )
2221fveq2d 5693 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )  =  ( G `
 ( R  .x.  X ) ) )
23 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
2410, 23, 6, 15lfl0 32707 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  D
) )
25243adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( 0g `  W
) )  =  ( 0g `  D ) )
2625oveq2d 6105 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) )  =  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( 0g `  D
) ) )
2710lmodfgrp 16955 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Grp )
28273ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  D  e.  Grp )
2910, 12, 5, 15lflcl 32706 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  K )
30293adant3l 1214 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  X )  e.  K
)
3110, 12, 14lmodmcl 16958 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  ( G `  X )  e.  K )  ->  ( R  .X.  ( G `  X ) )  e.  K )
321, 3, 30, 31syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( R  .X.  ( G `  X
) )  e.  K
)
3312, 13, 23grprid 15567 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( R  .X.  ( G `
 X ) )  e.  K )  -> 
( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D
) ( 0g `  D ) )  =  ( R  .X.  ( G `  X )
) )
3428, 32, 33syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( 0g `  D
) )  =  ( R  .X.  ( G `  X ) ) )
3526, 34eqtrd 2473 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) )  =  ( R 
.X.  ( G `  X ) ) )
3617, 22, 353eqtr3d 2481 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( R  .x.  X
) )  =  ( R  .X.  ( G `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Basecbs 14172   +g cplusg 14236   .rcmulr 14237  Scalarcsca 14239   .scvsca 14240   0gc0g 14376   Grpcgrp 15408   LModclmod 16946  LFnlclfn 32699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-plusg 14249  df-0g 14378  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-lmod 16948  df-lfl 32700
This theorem is referenced by:  lfl1  32712  lfladdcl  32713  eqlkr  32741  lkrlsp  32744  dochkr1  35120  dochkr1OLDN  35121  lcfl7lem  35141  lclkrlem2m  35161  hdmaplnm1  35554
  Copyright terms: Public domain W3C validator