Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflmul Structured version   Unicode version

Theorem lflmul 33874
Description: Property of a linear functional. (lnfnmuli 26655 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflmul.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflmul.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflmul.t  |-  .X.  =  ( .r `  D )
lflmul.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflmul.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lflmul.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lflmul  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( R  .x.  X
) )  =  ( R  .X.  ( G `  X ) ) )

Proof of Theorem lflmul
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
2 simp2 997 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  G  e.  F )
3 simp3l 1024 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  R  e.  K )
4 simp3r 1025 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  X  e.  V )
5 lflmul.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
75, 6lmod0vcl 17336 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 0g
`  W )  e.  V )
873ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( 0g `  W )  e.  V
)
9 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
10 lflmul.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
11 lflmul.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
12 lflmul.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
13 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
14 lflmul.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  D )
15 lflmul.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
165, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15lfli 33867 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V  /\  ( 0g `  W )  e.  V ) )  ->  ( G `  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )  =  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) ) )
171, 2, 3, 4, 8, 16syl113anc 1240 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )  =  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) ) )
185, 10, 11, 12lmodvscl 17324 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( R  .x.  X )  e.  V )
191, 3, 4, 18syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( R  .x.  X )  e.  V
)
205, 9, 6lmod0vrid 17338 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( R  .x.  X )  e.  V )  ->  (
( R  .x.  X
) ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  ( R  .x.  X
) )
211, 19, 20syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g `  W
) )  =  ( R  .x.  X ) )
2221fveq2d 5869 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( ( R  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )  =  ( G `
 ( R  .x.  X ) ) )
23 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
2410, 23, 6, 15lfl0 33871 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( G `  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  D
) )
25243adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( 0g `  W
) )  =  ( 0g `  D ) )
2625oveq2d 6299 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) )  =  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( 0g `  D
) ) )
2710lmodfgrp 17316 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Grp )
28273ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  D  e.  Grp )
2910, 12, 5, 15lflcl 33870 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  K )
30293adant3l 1224 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  X )  e.  K
)
3110, 12, 14lmodmcl 17319 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  K  /\  ( G `  X )  e.  K )  ->  ( R  .X.  ( G `  X ) )  e.  K )
321, 3, 30, 31syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( R  .X.  ( G `  X
) )  e.  K
)
3312, 13, 23grprid 15888 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( R  .X.  ( G `
 X ) )  e.  K )  -> 
( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D
) ( 0g `  D ) )  =  ( R  .X.  ( G `  X )
) )
3428, 32, 33syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( 0g `  D
) )  =  ( R  .X.  ( G `  X ) ) )
3526, 34eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( R  .X.  ( G `  X ) ) ( +g  `  D ) ( G `  ( 0g `  W ) ) )  =  ( R 
.X.  ( G `  X ) ) )
3617, 22, 353eqtr3d 2516 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  ( R  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( G `  ( R  .x.  X
) )  =  ( R  .X.  ( G `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Basecbs 14489   +g cplusg 14554   .rcmulr 14555  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694   Grpcgrp 15726   LModclmod 17307  LFnlclfn 33863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-plusg 14567  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-lmod 17309  df-lfl 33864
This theorem is referenced by:  lfl1  33876  lfladdcl  33877  eqlkr  33905  lkrlsp  33908  dochkr1  36284  dochkr1OLDN  36285  lcfl7lem  36305  lclkrlem2m  36325  hdmaplnm1  36718
  Copyright terms: Public domain W3C validator