HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnmuli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfnmuli 28287
Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfnl.1 𝑇 ∈ LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnmuli ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnfnmuli
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 27244 . . 3 0 ∈ ℋ
2 lnfnl.1 . . . 4 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnli 28283 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 · 𝐵) + 0)) = ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + (𝑇‘0)))
41, 3mp3an3 1405 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 · 𝐵) + 0)) = ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + (𝑇‘0)))
5 hvmulcl 27254 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
6 ax-hvaddid 27245 . . . 4 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ → ((𝐴 · 𝐵) + 0) = (𝐴 · 𝐵))
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) + 0) = (𝐴 · 𝐵))
87fveq2d 6107 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 · 𝐵) + 0)) = (𝑇‘(𝐴 · 𝐵)))
92lnfn0i 28285 . . . 4 (𝑇‘0) = 0
109oveq2i 6560 . . 3 ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + (𝑇‘0)) = ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + 0)
112lnfnfi 28284 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ℂ
1211ffvelrni 6266 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℂ)
13 mulcl 9899 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑇𝐵)) ∈ ℂ)
1412, 13sylan2 490 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇𝐵)) ∈ ℂ)
1514addid1d 10115 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + 0) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
1610, 15syl5eq 2656 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + (𝑇‘0)) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
174, 8, 163eqtr3d 2652 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820  chil 27160   + cva 27161   · csm 27162  0c0v 27165  LinFnclf 27195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-hilex 27240  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-lnfn 28091
This theorem is referenced by:  lnfnaddmuli  28288  lnfnmul  28291  nmbdfnlbi  28292  nmcfnexi  28294  nmcfnlbi  28295  nlelshi  28303  riesz3i  28305
  Copyright terms: Public domain W3C validator