Theorem lkrsc 33402

Description: The kernel of a nonzero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrsc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lkrsc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrsc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
lkrsc.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrsc.e	⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lkrsc	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺))

Proof of Theorem lkrsc

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrsc.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		fvex 6113	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2684	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
5		lkrsc.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
6		lkrsc.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lkrsc.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8		lkrsc.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
9		lkrsc.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
10		lkrsc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11	8, 9, 1, 10	lflf 33368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
12	6, 7, 11	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
13		ffn 5958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:𝑉⟶𝐾 → 𝐺 Fn 𝑉)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
15		eqidd 2611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) = (𝐺‘𝑣))
16	4, 5, 14, 15	ofc2 6819	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = ((𝐺‘𝑣) · 𝑅))
17	16	eqeq1d 2612	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ ((𝐺‘𝑣) · 𝑅) = 0 ))
18		lkrsc.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
19		lkrsc.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝐷)
20	8	lvecdrng 18926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
21	6, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ DivRing)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
23	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
24	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
25		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
26	8, 9, 1, 10	lflcl 33369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
28	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
29		lkrsc.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0 )
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑅 ≠ 0 )
31	9, 18, 19, 22, 27, 28, 30	drngmuleq0 18593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑣) · 𝑅) = 0 ↔ (𝐺‘𝑣) = 0 ))
32	17, 31	bitrd 267	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ (𝐺‘𝑣) = 0 ))
33	32	pm5.32da 671	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
34		lveclmod 18927	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
35	6, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
36	1, 8, 9, 19, 10, 35, 7, 5	lflvscl 33382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)
37		lkrsc.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
38	1, 8, 18, 10, 37	ellkr 33394	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
39	6, 36, 38	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
40	1, 8, 18, 10, 37	ellkr 33394	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
41	6, 7, 40	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
42	33, 39, 41	3bitr4d 299	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ 𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺)))
43	42	eqrdv 2608	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  {csn 4125   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769  Scalarcsca 15771  0_gc0g 15923  DivRingcdr 18570  LModclmod 18686  LVecclvec 18923  LFnlclfn 33362  LKerclk 33390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lvec 18924  df-lfl 33363  df-lkr 33391

This theorem is referenced by:  lkrscss  33403  ldualkrsc  33472