Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrscss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrscss 33403
 Description: The kernel of a scalar product of a functional includes the kernel of the functional. (The inclusion is proper for the zero product and equality otherwise.) (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t · = (.r𝐷)
lkrsc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g (𝜑𝐺𝐹)
lkrsc.r (𝜑𝑅𝐾)
Assertion
Ref Expression
lkrscss (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))

Proof of Theorem lkrscss
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lkrsc.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3 lkrsc.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑊)
4 lkrsc.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 18927 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lkrsc.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
81, 2, 3, 6, 7lkrssv 33401 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
9 lkrsc.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
10 lkrsc.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐷)
11 lkrsc.t . . . . . . . 8 · = (.r𝐷)
12 eqid 2610 . . . . . . . 8 (0g𝐷) = (0g𝐷)
131, 9, 2, 10, 11, 12, 6, 7lfl0sc 33387 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
1413fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))) = (𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})))
15 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})
169, 12, 1, 2lfl0f 33374 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∈ 𝐹)
176, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∈ 𝐹)
189, 12, 1, 2, 3lkr0f 33399 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∈ 𝐹) → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
196, 17, 18syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2015, 19mpbiri 247 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉)
2114, 20eqtr2d 2645 . . . . 5 (𝜑𝑉 = (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
228, 21sseqtrd 3604 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2322adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
24 sneq 4135 . . . . . . 7 (𝑅 = (0g𝐷) → {𝑅} = {(0g𝐷)})
2524xpeq2d 5063 . . . . . 6 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝑉 × {𝑅}) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
2625oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2726fveq2d 6107 . . . 4 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2827adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2923, 28sseqtr4d 3605 . 2 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))
304adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
317adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝐺𝐹)
32 lkrsc.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝐾)
3332adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑅𝐾)
34 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑅 ≠ (0g𝐷))
351, 9, 10, 11, 2, 3, 30, 31, 33, 12, 34lkrsc 33402 . . 3 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))
36 eqimss2 3621 . . 3 ((𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))
3735, 36syl 17 . 2 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))
3829, 37pm2.61dane 2869 1 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  {csn 4125   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771  0gc0g 15923  LModclmod 18686  LVecclvec 18923  LFnlclfn 33362  LKerclk 33390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lvec 18924  df-lfl 33363  df-lkr 33391 This theorem is referenced by:  lfl1dim  33426  lfl1dim2N  33427  lkrss  33473
 Copyright terms: Public domain W3C validator