Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflvscl 33382
 Description: Closure of a scalar product with a functional. Note that this is the scalar product for a right vector space with the scalar after the vector; reversing these fails closure. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsccl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsccl.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsccl.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflsccl.t · = (.r𝐷)
lflsccl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflsccl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lflsccl.g (𝜑𝐺𝐹)
lflsccl.r (𝜑𝑅𝐾)
Assertion
Ref Expression
lflvscl (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lflvscl
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflsccl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
3 eqidd 2611 . 2 (𝜑 → (+g𝑊) = (+g𝑊))
4 lflsccl.d . . 3 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
54a1i 11 . 2 (𝜑𝐷 = (Scalar‘𝑊))
6 eqidd 2611 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
7 lflsccl.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐷)
87a1i 11 . 2 (𝜑𝐾 = (Base‘𝐷))
9 eqidd 2611 . 2 (𝜑 → (+g𝐷) = (+g𝐷))
10 lflsccl.t . . 3 · = (.r𝐷)
1110a1i 11 . 2 (𝜑· = (.r𝐷))
12 lflsccl.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
1312a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 = (LFnl‘𝑊))
14 lflsccl.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
154lmodring 18694 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Ring)
177, 10ringcl 18384 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐾𝑦𝐾) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
18173expb 1258 . . . 4 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
1916, 18sylan 487 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
20 lflsccl.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
214, 7, 1, 12lflf 33368 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
2214, 20, 21syl2anc 691 . . 3 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
23 lflsccl.r . . . 4 (𝜑𝑅𝐾)
24 fconst6g 6007 . . . 4 (𝑅𝐾 → (𝑉 × {𝑅}):𝑉𝐾)
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑉 × {𝑅}):𝑉𝐾)
26 fvex 6113 . . . . 5 (Base‘𝑊) ∈ V
271, 26eqeltri 2684 . . . 4 𝑉 ∈ V
2827a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
29 inidm 3784 . . 3 (𝑉𝑉) = 𝑉
3019, 22, 25, 28, 28, 29off 6810 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})):𝑉𝐾)
3114adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
3220adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝐺𝐹)
33 simpr1 1060 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑟𝐾)
34 simpr2 1061 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑥𝑉)
35 simpr3 1062 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑦𝑉)
36 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
37 eqid 2610 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
38 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g𝐷) = (+g𝐷)
391, 36, 4, 37, 7, 38, 10, 12lfli 33366 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)))
4031, 32, 33, 34, 35, 39syl113anc 1330 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)))
4140oveq1d 6564 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)) · 𝑅))
4216adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
434, 7, 1, 12lflcl 33369 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
4431, 32, 34, 43syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
457, 10ringcl 18384 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟𝐾 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾) → (𝑟 · (𝐺𝑥)) ∈ 𝐾)
4642, 33, 44, 45syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑟 · (𝐺𝑥)) ∈ 𝐾)
474, 7, 1, 12lflcl 33369 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦𝑉) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐾)
4831, 32, 35, 47syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐾)
4923adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑅𝐾)
507, 38, 10ringdir 18390 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((𝑟 · (𝐺𝑥)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝐾𝑅𝐾)) → (((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅)(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
5142, 46, 48, 49, 50syl13anc 1320 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅)(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
527, 10ringass 18387 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝑟𝐾 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾𝑅𝐾)) → ((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅) = (𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅)))
5342, 33, 44, 49, 52syl13anc 1320 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅) = (𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅)))
5453oveq1d 6564 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅)(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)) = ((𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅))(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
5541, 51, 543eqtrd 2648 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) · 𝑅) = ((𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅))(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
561, 4, 37, 7lmodvscl 18703 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟𝐾𝑥𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
5731, 33, 34, 56syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
581, 36lmodvacl 18700 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉𝑦𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
5931, 57, 35, 58syl3anc 1318 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
60 ffn 5958 . . . . . 6 (𝐺:𝑉𝐾𝐺 Fn 𝑉)
6122, 60syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 Fn 𝑉)
62 eqidd 2611 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)))
6328, 23, 61, 62ofc2 6819 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) · 𝑅))
6459, 63syldan 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) · 𝑅))
65 eqidd 2611 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
6628, 23, 61, 65ofc2 6819 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑅))
6734, 66syldan 486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑅))
6867oveq2d 6565 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑟 · ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥)) = (𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅)))
69 eqidd 2611 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑦))
7028, 23, 61, 69ofc2 6819 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦) = ((𝐺𝑦) · 𝑅))
7135, 70syldan 486 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦) = ((𝐺𝑦) · 𝑅))
7268, 71oveq12d 6567 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝑟 · ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥))(+g𝐷)((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦)) = ((𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅))(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
7355, 64, 723eqtr4d 2654 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥))(+g𝐷)((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦)))
742, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 30, 73, 14islfld 33367 1 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  Ringcrg 18370  LModclmod 18686  LFnlclfn 33362 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mgp 18313  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lfl 33363 This theorem is referenced by:  lkrsc  33402  lfl1dim  33426  ldualvscl  33444  ldualvsass  33446
 Copyright terms: Public domain W3C validator