Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsass 33446
 Description: Associative law for scalar product operation. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsass.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsass.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsass.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsass.t × = (.r𝑅)
ldualvsass.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsass.s · = ( ·𝑠𝐷)
ldualvsass.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvsass.x (𝜑𝑋𝐾)
ldualvsass.y (𝜑𝑌𝐾)
ldualvsass.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldualvsass (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝑋 · (𝑌 · 𝐺)))

Proof of Theorem ldualvsass
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 ldualvsass.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3 ldualvsass.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 ldualvsass.t . . . 4 × = (.r𝑅)
5 ldualvsass.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6 ldualvsass.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 ldualvsass.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐾)
8 ldualvsass.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐾)
9 ldualvsass.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lflvsass 33386 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑓 × ((Base‘𝑊) × {(𝑌 × 𝑋)})) = ((𝐺𝑓 × ((Base‘𝑊) × {𝑌})) ∘𝑓 × ((Base‘𝑊) × {𝑋})))
11 ldualvsass.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
12 ldualvsass.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝐷)
132lmodring 18694 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
146, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
153, 4ringcl 18384 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐾𝑋𝐾) → (𝑌 × 𝑋) ∈ 𝐾)
1614, 7, 8, 15syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) ∈ 𝐾)
175, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 16, 9ldualvs 33442 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝐺𝑓 × ((Base‘𝑊) × {(𝑌 × 𝑋)})))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 7lflvscl 33382 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑓 × ((Base‘𝑊) × {𝑌})) ∈ 𝐹)
195, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 8, 18ldualvs 33442 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (𝐺𝑓 × ((Base‘𝑊) × {𝑌}))) = ((𝐺𝑓 × ((Base‘𝑊) × {𝑌})) ∘𝑓 × ((Base‘𝑊) × {𝑋})))
2010, 17, 193eqtr4d 2654 . 2 (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝑋 · (𝐺𝑓 × ((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
215, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 7, 9ldualvs 33442 . . 3 (𝜑 → (𝑌 · 𝐺) = (𝐺𝑓 × ((Base‘𝑊) × {𝑌})))
2221oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · 𝐺)) = (𝑋 · (𝐺𝑓 × ((Base‘𝑊) × {𝑌}))))
2320, 22eqtr4d 2647 1 (𝜑 → ((𝑌 × 𝑋) · 𝐺) = (𝑋 · (𝑌 · 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  Ringcrg 18370  LModclmod 18686  LFnlclfn 33362  LDualcld 33428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mgp 18313  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lfl 33363  df-ldual 33429 This theorem is referenced by:  ldualvsass2  33447
 Copyright terms: Public domain W3C validator