Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvscl Structured version   Unicode version

Theorem lflvscl 34275
 Description: Closure of a scalar product with a functional. Note that this is the scalar product for a right vector space with the scalar after the vector; reversing these fails closure. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsccl.v
lflsccl.d Scalar
lflsccl.k
lflsccl.t
lflsccl.f LFnl
lflsccl.w
lflsccl.g
lflsccl.r
Assertion
Ref Expression
lflvscl

Proof of Theorem lflvscl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflsccl.v . . 3
21a1i 11 . 2
3 eqidd 2468 . 2
4 lflsccl.d . . 3 Scalar
54a1i 11 . 2 Scalar
6 eqidd 2468 . 2
7 lflsccl.k . . 3
87a1i 11 . 2
9 eqidd 2468 . 2
10 lflsccl.t . . 3
1110a1i 11 . 2
12 lflsccl.f . . 3 LFnl
1312a1i 11 . 2 LFnl
14 lflsccl.w . . . . 5
154lmodring 17391 . . . . 5
1614, 15syl 16 . . . 4
177, 10ringcl 17084 . . . . 5
18173expb 1197 . . . 4
1916, 18sylan 471 . . 3
20 lflsccl.g . . . 4
214, 7, 1, 12lflf 34261 . . . 4
2214, 20, 21syl2anc 661 . . 3
23 lflsccl.r . . . 4
24 fconst6g 5780 . . . 4
2523, 24syl 16 . . 3
26 fvex 5882 . . . . 5
271, 26eqeltri 2551 . . . 4
2827a1i 11 . . 3
29 inidm 3712 . . 3
3019, 22, 25, 28, 28, 29off 6549 . 2
3114adantr 465 . . . . . 6
3220adantr 465 . . . . . 6
33 simpr1 1002 . . . . . 6
34 simpr2 1003 . . . . . 6
35 simpr3 1004 . . . . . 6
36 eqid 2467 . . . . . . 7
37 eqid 2467 . . . . . . 7
38 eqid 2467 . . . . . . 7
391, 36, 4, 37, 7, 38, 10, 12lfli 34259 . . . . . 6
4031, 32, 33, 34, 35, 39syl113anc 1240 . . . . 5
4140oveq1d 6310 . . . 4
4216adantr 465 . . . . 5
434, 7, 1, 12lflcl 34262 . . . . . . 7
4431, 32, 34, 43syl3anc 1228 . . . . . 6
457, 10ringcl 17084 . . . . . 6
4642, 33, 44, 45syl3anc 1228 . . . . 5
474, 7, 1, 12lflcl 34262 . . . . . 6
4831, 32, 35, 47syl3anc 1228 . . . . 5
4923adantr 465 . . . . 5
507, 38, 10ringdir 17090 . . . . 5
5142, 46, 48, 49, 50syl13anc 1230 . . . 4
527, 10ringass 17087 . . . . . 6
5342, 33, 44, 49, 52syl13anc 1230 . . . . 5
5453oveq1d 6310 . . . 4
5541, 51, 543eqtrd 2512 . . 3
561, 4, 37, 7lmodvscl 17400 . . . . . 6
5731, 33, 34, 56syl3anc 1228 . . . . 5
581, 36lmodvacl 17397 . . . . 5
5931, 57, 35, 58syl3anc 1228 . . . 4
60 ffn 5737 . . . . . 6
6122, 60syl 16 . . . . 5
62 eqidd 2468 . . . . 5
6328, 23, 61, 62ofc2 6559 . . . 4
6459, 63syldan 470 . . 3
65 eqidd 2468 . . . . . . 7
6628, 23, 61, 65ofc2 6559 . . . . . 6
6734, 66syldan 470 . . . . 5
6867oveq2d 6311 . . . 4
69 eqidd 2468 . . . . . 6
7028, 23, 61, 69ofc2 6559 . . . . 5
7135, 70syldan 470 . . . 4
7268, 71oveq12d 6313 . . 3
7355, 64, 723eqtr4d 2518 . 2
742, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 30, 73, 14islfld 34260 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118  csn 4033   cxp 5003   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cof 6533  cbs 14507   cplusg 14572  cmulr 14573  Scalarcsca 14575  cvsca 14576  crg 17070  clmod 17383  LFnlclfn 34255 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-mgp 17014  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-lfl 34256 This theorem is referenced by:  lkrsc  34295  lfl1dim  34319  ldualvscl  34337  ldualvsass  34339
 Copyright terms: Public domain W3C validator