Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem1 35849
 Description: Lemma for lcfr 35892. Note that 𝑋 is z in Mario's notes. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q × = (.r𝑆)
lcfrlem1.z 0 = (0g𝑆)
lcfrlem1.i 𝐼 = (invr𝑆)
lcfrlem1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t · = ( ·𝑠𝐷)
lcfrlem1.m = (-g𝐷)
lcfrlem1.u (𝜑𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e (𝜑𝐸𝐹)
lcfrlem1.g (𝜑𝐺𝐹)
lcfrlem1.x (𝜑𝑋𝑉)
lcfrlem1.n (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h 𝐻 = (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem1 (𝜑 → (𝐻𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lcfrlem1
StepHypRef Expression
1 lcfrlem1.h . . 3 𝐻 = (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))
21fveq1i 6104 . 2 (𝐻𝑋) = ((𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))‘𝑋)
3 lcfrlem1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 lcfrlem1.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
5 eqid 2610 . . . 4 (-g𝑆) = (-g𝑆)
6 lcfrlem1.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 lcfrlem1.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8 lcfrlem1.m . . . 4 = (-g𝐷)
9 lcfrlem1.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
10 lveclmod 18927 . . . . 5 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 lcfrlem1.e . . . 4 (𝜑𝐸𝐹)
13 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
14 lcfrlem1.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐷)
154lvecdrng 18926 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
169, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ DivRing)
17 lcfrlem1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐹)
18 lcfrlem1.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
194, 13, 3, 6lflcl 33369 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
209, 17, 18, 19syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
21 lcfrlem1.n . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
22 lcfrlem1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
23 lcfrlem1.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invr𝑆)
2413, 22, 23drnginvrcl 18587 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
2516, 20, 21, 24syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
264, 13, 3, 6lflcl 33369 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸𝐹𝑋𝑉) → (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
279, 12, 18, 26syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
28 lcfrlem1.q . . . . . . 7 × = (.r𝑆)
294, 13, 28lmodmcl 18698 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
3011, 25, 27, 29syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
316, 4, 13, 7, 14, 11, 30, 17ldualvscl 33444 . . . 4 (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
323, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 31, 18ldualvsubval 33462 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))‘𝑋) = ((𝐸𝑋)(-g𝑆)((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋)))
336, 3, 4, 13, 28, 7, 14, 9, 30, 17, 18ldualvsval 33443 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))))
34 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (1r𝑆) = (1r𝑆)
3513, 22, 28, 34, 23drnginvrr 18590 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) = (1r𝑆))
3616, 20, 21, 35syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) = (1r𝑆))
3736oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) × (𝐸𝑋)) = ((1r𝑆) × (𝐸𝑋)))
384lmodring 18694 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
3911, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
4013, 28ringass 18387 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))) → (((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) × (𝐸𝑋)) = ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))))
4139, 20, 25, 27, 40syl13anc 1320 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) × (𝐸𝑋)) = ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))))
4213, 28, 34ringlidm 18394 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((1r𝑆) × (𝐸𝑋)) = (𝐸𝑋))
4339, 27, 42syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((1r𝑆) × (𝐸𝑋)) = (𝐸𝑋))
4437, 41, 433eqtr3d 2652 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))) = (𝐸𝑋))
4533, 44eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋) = (𝐸𝑋))
4645oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝑋)(-g𝑆)((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋)) = ((𝐸𝑋)(-g𝑆)(𝐸𝑋)))
474lmodfgrp 18695 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
4811, 47syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
4913, 22, 5grpsubid 17322 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐸𝑋)(-g𝑆)(𝐸𝑋)) = 0 )
5048, 27, 49syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝑋)(-g𝑆)(𝐸𝑋)) = 0 )
5132, 46, 503eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → ((𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))‘𝑋) = 0 )
522, 51syl5eq 2656 1 (𝜑 → (𝐻𝑋) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  1rcur 18324  Ringcrg 18370  invrcinvr 18494  DivRingcdr 18570  LModclmod 18686  LVecclvec 18923  LFnlclfn 33362  LDualcld 33428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lvec 18924  df-lfl 33363  df-ldual 33429 This theorem is referenced by:  lcfrlem3  35851
 Copyright terms: Public domain W3C validator