Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfladd 33371
 Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 28286 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladd.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfladd.p = (+g𝐷)
lfladd.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd.a + = (+g𝑊)
lfladd.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lfladd ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋) (𝐺𝑌)))

Proof of Theorem lfladd
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2 simp2 1055 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐺𝐹)
3 lfladd.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5 eqid 2610 . . . . 5 (1r𝐷) = (1r𝐷)
63, 4, 5lmod1cl 18713 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
763ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
8 simp3l 1082 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
9 simp3r 1083 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑌𝑉)
10 lfladd.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 lfladd.a . . . 4 + = (+g𝑊)
12 eqid 2610 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
13 lfladd.p . . . 4 = (+g𝐷)
14 eqid 2610 . . . 4 (.r𝐷) = (.r𝐷)
15 lfladd.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
1610, 11, 3, 12, 4, 13, 14, 15lfli 33366 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ ((1r𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) (𝐺𝑌)))
171, 2, 7, 8, 9, 16syl113anc 1330 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) (𝐺𝑌)))
1810, 3, 12, 5lmodvs1 18714 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) = 𝑋)
191, 8, 18syl2anc 691 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) = 𝑋)
2019oveq1d 6564 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
2120fveq2d 6107 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(((1r𝐷)( ·𝑠𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)))
223lmodring 18694 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
23223ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
243, 4, 10, 15lflcl 33369 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
25243adant3r 1315 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
264, 14, 5ringlidm 18394 . . . 4 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷)) → ((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = (𝐺𝑋))
2723, 25, 26syl2anc 691 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = (𝐺𝑋))
2827oveq1d 6564 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((1r𝐷)(.r𝐷)(𝐺𝑋)) (𝐺𝑌)) = ((𝐺𝑋) (𝐺𝑌)))
2917, 21, 283eqtr3d 2652 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺𝑋) (𝐺𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  1rcur 18324  Ringcrg 18370  LModclmod 18686  LFnlclfn 33362 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lfl 33363 This theorem is referenced by:  lfladdcl  33376  hdmaplna1  36217
 Copyright terms: Public domain W3C validator