Theorem lfladd 33371

Description: Property of a linear functional. (lnfnaddi 28286 analog.) (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladd.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfladd.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
lfladd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lfladd.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfladd	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) ⨣ (𝐺‘𝑌)))

Proof of Theorem lfladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simp2 1055	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		lfladd.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
6	3, 4, 5	lmod1cl 18713	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
7	6	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷))
8		simp3l 1082	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		simp3r 1083	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		lfladd.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lfladd.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		lfladd.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
14		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
15		lfladd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
16	10, 11, 3, 12, 4, 13, 14, 15	lfli 33366	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ((1r‘𝐷) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) ⨣ (𝐺‘𝑌)))
17	1, 2, 7, 8, 9, 16	syl113anc 1330	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) ⨣ (𝐺‘𝑌)))
18	10, 3, 12, 5	lmodvs1 18714	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
19	1, 8, 18	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
20	19	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
21	20	fveq2d 6107	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((1r‘𝐷)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌)) = (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)))
22	3	lmodring 18694	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
23	22	3ad2ant1 1075	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
24	3, 4, 10, 15	lflcl 33369	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
25	24	3adant3r 1315	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
26	4, 14, 5	ringlidm 18394	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷)) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (𝐺‘𝑋))
27	23, 25, 26	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (𝐺‘𝑋))
28	27	oveq1d 6564	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1r‘𝐷)(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) ⨣ (𝐺‘𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) ⨣ (𝐺‘𝑌)))
29	17, 21, 28	3eqtr3d 2652	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐺‘𝑋) ⨣ (𝐺‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  ._rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  LModclmod 18686  LFnlclfn 33362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lfl 33363

This theorem is referenced by:  lfladdcl  33376  hdmaplna1  36217