Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflcl Structured version   Unicode version

Theorem lflcl 34523
Description: A linear functional value is a scalar. (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflf.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflf.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflf.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lflcl  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X
)  e.  K )

Proof of Theorem lflcl
StepHypRef Expression
1 lflf.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
2 lflf.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
3 lflf.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lflf.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
51, 2, 3, 4lflf 34522 . . 3  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
653adant3 1017 . 2  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  G : V --> K )
7 simp3 999 . 2  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
86, 7ffvelrnd 6017 1  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X
)  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   -->wf 5574   ` cfv 5578   Basecbs 14509  Scalarcsca 14577  LFnlclfn 34516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-map 7424  df-lfl 34517
This theorem is referenced by:  lfl0  34524  lfladd  34525  lflsub  34526  lflmul  34527  lfl1  34529  lfladdcl  34530  lflnegcl  34534  lflvscl  34536  lkrsc  34556  eqlkr  34558  eqlkr3  34560  lkrlsp  34561  ldualvsubval  34616  dochkr1  36939  dochkr1OLDN  36940  lcfl7lem  36960  lclkrlem2m  36980  lclkrlem2o  36982  lclkrlem2p  36983  lcfrlem1  37003  lcfrlem2  37004  lcfrlem3  37005  lcfrlem29  37032  lcfrlem31  37034  lcfrlem33  37036  lcdvbasecl  37057
  Copyright terms: Public domain W3C validator