Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflcl Structured version   Unicode version

Theorem lflcl 33018
Description: A linear functional value is a scalar. (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflf.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflf.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflf.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lflcl  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X
)  e.  K )

Proof of Theorem lflcl
StepHypRef Expression
1 lflf.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
2 lflf.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
3 lflf.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lflf.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
51, 2, 3, 4lflf 33017 . . 3  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
653adant3 1008 . 2  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  G : V --> K )
7 simp3 990 . 2  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
86, 7ffvelrnd 5946 1  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X
)  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   -->wf 5515   ` cfv 5519   Basecbs 14285  Scalarcsca 14352  LFnlclfn 33011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-map 7319  df-lfl 33012
This theorem is referenced by:  lfl0  33019  lfladd  33020  lflsub  33021  lflmul  33022  lfl1  33024  lfladdcl  33025  lflnegcl  33029  lflvscl  33031  lkrsc  33051  eqlkr  33053  eqlkr3  33055  lkrlsp  33056  ldualvsubval  33111  dochkr1  35432  dochkr1OLDN  35433  lcfl7lem  35453  lclkrlem2m  35473  lclkrlem2o  35475  lclkrlem2p  35476  lcfrlem1  35496  lcfrlem2  35497  lcfrlem3  35498  lcfrlem29  35525  lcfrlem31  35527  lcfrlem33  35529  lcdvbasecl  35550
  Copyright terms: Public domain W3C validator