Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablinvadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The inverse of an Abelian group operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
ablinvadd ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)))

StepHypRef Expression
1 ablgrp 18021 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2 ablinvadd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 ablinvadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
4 ablinvadd.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
52, 3, 4grpinvadd 17316 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
61, 5syl3an1 1351 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
7 simp1 1054 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
813ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simp2 1055 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
102, 4grpinvcl 17290 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
118, 9, 10syl2anc 691 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
12 simp3 1056 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
132, 4grpinvcl 17290 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
148, 12, 13syl2anc 691 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
152, 3ablcom 18033 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
167, 11, 14, 15syl3anc 1318 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
176, 16eqtr4d 2647 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  Abelcabl 18017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-cmn 18018  df-abl 18019 This theorem is referenced by:  ablsub4  18041  mulgdi  18055  invghm  18062  lmodnegadd  18735  lflnegcl  33380  baerlem3lem1  36014
 Copyright terms: Public domain W3C validator