MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablinvadd Structured version   Unicode version

Theorem ablinvadd 16292
Description: The inverse of an Abelian group operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablinvadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablinvadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablinvadd.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
ablinvadd  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `  X )  .+  ( N `  Y )
) )

Proof of Theorem ablinvadd
StepHypRef Expression
1 ablgrp 16275 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
2 ablinvadd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 ablinvadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 ablinvadd.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  G )
52, 3, 4grpinvadd 15597 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) )
61, 5syl3an1 1246 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )
7 simp1 983 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Abel )
813ad2ant1 1004 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
9 simp2 984 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
102, 4grpinvcl 15576 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
118, 9, 10syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  X )  e.  B )
12 simp3 985 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
132, 4grpinvcl 15576 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
148, 12, 13syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y )  e.  B )
152, 3ablcom 16287 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( N `  X )  e.  B  /\  ( N `  Y )  e.  B )  ->  (
( N `  X
)  .+  ( N `  Y ) )  =  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )
167, 11, 14, 15syl3anc 1213 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( N `  X
)  .+  ( N `  Y ) )  =  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )
176, 16eqtr4d 2476 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `  X )  .+  ( N `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   Abelcabel 16271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-cmn 16272  df-abl 16273
This theorem is referenced by:  ablsub4  16295  mulgdi  16307  invghm  16311  lmodnegadd  16974  lflnegcl  32442  baerlem3lem1  35074
  Copyright terms: Public domain W3C validator