MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablinvadd Structured version   Unicode version

Theorem ablinvadd 16302
Description: The inverse of an Abelian group operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablinvadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablinvadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablinvadd.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
ablinvadd  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `  X )  .+  ( N `  Y )
) )

Proof of Theorem ablinvadd
StepHypRef Expression
1 ablgrp 16285 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
2 ablinvadd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 ablinvadd.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 ablinvadd.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  G )
52, 3, 4grpinvadd 15607 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `
 Y )  .+  ( N `  X ) ) )
61, 5syl3an1 1251 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )
7 simp1 988 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Abel )
813ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
9 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
102, 4grpinvcl 15586 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
118, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  X )  e.  B )
12 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
132, 4grpinvcl 15586 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
148, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y )  e.  B )
152, 3ablcom 16297 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( N `  X )  e.  B  /\  ( N `  Y )  e.  B )  ->  (
( N `  X
)  .+  ( N `  Y ) )  =  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )
167, 11, 14, 15syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( N `  X
)  .+  ( N `  Y ) )  =  ( ( N `  Y )  .+  ( N `  X )
) )
176, 16eqtr4d 2478 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( N `  X )  .+  ( N `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Basecbs 14177   +g cplusg 14241   Grpcgrp 15413   invgcminusg 15414   Abelcabel 16281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-0g 14383  df-mnd 15418  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-cmn 16282  df-abl 16283
This theorem is referenced by:  ablsub4  16305  mulgdi  16317  invghm  16321  lmodnegadd  16997  lflnegcl  32723  baerlem3lem1  35355
  Copyright terms: Public domain W3C validator