Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgdi 18055
 Description: Group multiple of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgdi.m · = (.g𝐺)
mulgdi.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgdi ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgdi
StepHypRef Expression
1 ablcmn 18022 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
21ad2antrr 758 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
3 simpr 476 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 simplr2 1097 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
5 simplr3 1098 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑌𝐵)
6 mulgdi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 mulgdi.m . . . 4 · = (.g𝐺)
8 mulgdi.p . . . 4 + = (+g𝐺)
96, 7, 8mulgnn0di 18054 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1320 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
111ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
12 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
13 simpr2 1061 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
1413adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
15 simpr3 1062 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
1615adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑌𝐵)
176, 7, 8mulgnn0di 18054 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)))
1811, 12, 14, 16, 17syl13anc 1320 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)))
19 ablgrp 18021 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
21 simpr1 1060 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
226, 8grpcl 17253 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
2320, 13, 15, 22syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
24 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
256, 7, 24mulgneg 17383 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
2620, 21, 23, 25syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
2726adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
286, 7, 24mulgneg 17383 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
2920, 21, 13, 28syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
306, 7, 24mulgneg 17383 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
3120, 21, 15, 30syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
3229, 31oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
3332adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
3418, 27, 333eqtr3d 2652 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
35 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
366, 7mulgcl 17382 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3720, 21, 13, 36syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
386, 7mulgcl 17382 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
3920, 21, 15, 38syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
406, 8, 24ablinvadd 18038 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
4135, 37, 39, 40syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
4241adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
4334, 42eqtr4d 2647 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))) = ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))))
4443fveq2d 6107 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))))
4519ad2antrr 758 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
466, 7mulgcl 17382 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
4720, 21, 23, 46syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
4847adantr 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
496, 24grpinvinv 17305 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))
5045, 48, 49syl2anc 691 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))
516, 8grpcl 17253 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
5220, 37, 39, 51syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
5352adantr 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
546, 24grpinvinv 17305 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
5545, 53, 54syl2anc 691 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
5644, 50, 553eqtr3d 2652 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
57 elznn0 11269 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
5857simprbi 479 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
5921, 58syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
6010, 56, 59mpjaodan 823 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  -cneg 10146  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  .gcmg 17363  CMndccmn 18016  Abelcabl 18017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-cmn 18018  df-abl 18019 This theorem is referenced by:  mulgghm  18057  mulgsubdi  18058  odadd1  18074  odadd2  18075  oddvdssubg  18081  pgpfac1lem3a  18298  pgpfac1lem3  18299  zlmlmod  19690
 Copyright terms: Public domain W3C validator