Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladdass Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Associativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
lfladdass (𝜑 → ((𝐺𝑓 + 𝐻) ∘𝑓 + 𝐼) = (𝐺𝑓 + (𝐻𝑓 + 𝐼)))

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6113 . . 3 (Base‘𝑊) ∈ V
21a1i 11 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
3 lfladdcl.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lfladdcl.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
5 lfladdcl.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
6 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8 lfladdcl.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
95, 6, 7, 8lflf 33368 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
103, 4, 9syl2anc 691 . 2 (𝜑𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
11 lfladdcl.h . . 3 (𝜑𝐻𝐹)
125, 6, 7, 8lflf 33368 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
133, 11, 12syl2anc 691 . 2 (𝜑𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
14 lfladdass.i . . 3 (𝜑𝐼𝐹)
155, 6, 7, 8lflf 33368 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝐹) → 𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
163, 14, 15syl2anc 691 . 2 (𝜑𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
175lmodring 18694 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
18 ringgrp 18375 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
193, 17, 183syl 18 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
20 lfladdcl.p . . . 4 + = (+g𝑅)
216, 20grpass 17254 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
2219, 21sylan 487 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
232, 10, 13, 16, 22caofass 6829 1 (𝜑 → ((𝐺𝑓 + 𝐻) ∘𝑓 + 𝐼) = (𝐺𝑓 + (𝐻𝑓 + 𝐼)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771  Grpcgrp 17245  Ringcrg 18370  LModclmod 18686  LFnlclfn 33362 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-map 7746  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lfl 33363 This theorem is referenced by:  ldualgrplem  33450
 Copyright terms: Public domain W3C validator