Theorem ogrpinvlt 29055

Description: In an ordered group, the ordering is compatible with group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpinvlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpinvlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpinvlt.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ogrpinvlt	⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))

Proof of Theorem ogrpinvlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1078	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ oGrp)
2		simp2 1055	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3 1056	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ogrpgrp 29034	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp → 𝐺 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
6		ogrpinvlt.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		ogrpinvlt.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
8	6, 7	grpinvcl 17290	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
9	5, 3, 8	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)
10		ogrpinvlt.1	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐺)
11		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
12	6, 10, 11	ogrpaddltbi 29050	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
13	1, 2, 3, 9, 12	syl13anc 1320	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
14		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
15	6, 11, 14, 7	grprinv 17292	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
16	5, 3, 15	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (0g‘𝐺))
17	16	breq2d 4595	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (𝑌(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (0g‘𝐺)))
18		simp1r 1079	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (oppg‘𝐺) ∈ oGrp)
19	6, 11	grpcl 17253	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	5, 2, 9, 19	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	6, 14	grpidcl 17273	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
22	1, 4, 21	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
23	6, 7	grpinvcl 17290	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
24	5, 2, 23	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
25	6, 10, 11, 1, 18, 20, 22, 24	ogrpaddltrbid 29052	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) < (0g‘𝐺) ↔ ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
26	13, 17, 25	3bitrd 293	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺))))
27	6, 11, 14, 7	grplinv 17291	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
28	5, 2, 27	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋) = (0g‘𝐺))
29	28	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)))
30	6, 11	grpass 17254	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
31	5, 24, 2, 9, 30	syl13anc 1320	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))))
32	6, 11, 14	grplid 17275	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (𝐼‘𝑌))
33	5, 9, 32	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌)) = (𝐼‘𝑌))
34	29, 31, 33	3eqtr3d 2652	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) = (𝐼‘𝑌))
35	6, 11, 14	grprid 17276	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝐼‘𝑋))
36	5, 24, 35	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝐼‘𝑋))
37	34, 36	breq12d 4596	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(𝑋(+g‘𝐺)(𝐼‘𝑌))) < ((𝐼‘𝑋)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))
38	26, 37	bitrd 267	1 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼‘𝑌) < (𝐼‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923  ltcplt 16764  Grpcgrp 17245  inv_gcminusg 17246  opp_gcoppg 17598  oGrpcogrp 29029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-ple 15788  df-0g 15925  df-plt 16781  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-oppg 17599  df-omnd 29030  df-ogrp 29031

This theorem is referenced by:  archirngz  29074  archiabllem2c  29080