Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpaddltrbid Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpaddltrd.2 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
Assertion
Ref Expression
ogrpaddltrbid (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))

StepHypRef Expression
1 ogrpaddlt.0 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 ogrpaddlt.1 . . 3 < = (lt‘𝐺)
3 ogrpaddlt.2 . . 3 + = (+g𝐺)
4 ogrpaddltrd.1 . . . 4 (𝜑𝐺𝑉)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝐺𝑉)
6 ogrpaddltrd.2 . . . 4 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
8 ogrpaddltrd.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
98adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝐵)
10 ogrpaddltrd.4 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑌𝐵)
12 ogrpaddltrd.5 . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑍𝐵)
14 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14ogrpaddltrd 29051 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
164adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺𝑉)
176adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
18 ogrpgrp 29034 . . . . . . 7 ((oppg𝐺) ∈ oGrp → (oppg𝐺) ∈ Grp)
196, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ Grp)
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (oppg𝐺) ∈ Grp)
218adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋𝐵)
2212adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑍𝐵)
23 eqid 2610 . . . . . . 7 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
24 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g‘(oppg𝐺)) = (+g‘(oppg𝐺))
253, 23, 24oppgplus 17602 . . . . . 6 (𝑋(+g‘(oppg𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
2623, 1oppgbas 17604 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(oppg𝐺))
2726, 24grpcl 17253 . . . . . 6 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋(+g‘(oppg𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
2825, 27syl5eqelr 2693 . . . . 5 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
2920, 21, 22, 28syl3anc 1318 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) ∈ 𝐵)
3010adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑌𝐵)
313, 23, 24oppgplus 17602 . . . . . 6 (𝑌(+g‘(oppg𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
3226, 24grpcl 17253 . . . . . 6 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌(+g‘(oppg𝐺))𝑍) ∈ 𝐵)
3331, 32syl5eqelr 2693 . . . . 5 (((oppg𝐺) ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
3420, 30, 22, 33syl3anc 1318 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
3523oppggrpb 17611 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp ↔ (oppg𝐺) ∈ Grp)
3620, 35sylibr 223 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝐺 ∈ Grp)
37 eqid 2610 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
381, 37grpinvcl 17290 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
3936, 22, 38syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵)
40 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
411, 2, 3, 16, 17, 29, 34, 39, 40ogrpaddltrd 29051 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) < (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
42 eqid 2610 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
431, 3, 42, 37grplinv 17291 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g𝐺))
4436, 22, 43syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) = (0g𝐺))
4544oveq1d 6564 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = ((0g𝐺) + 𝑋))
461, 3grpass 17254 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵𝑍𝐵𝑋𝐵)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
4736, 39, 22, 21, 46syl13anc 1320 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑋) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)))
481, 3, 42grplid 17275 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
4936, 21, 48syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
5045, 47, 493eqtr3d 2652 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑋)) = 𝑋)
5144oveq1d 6564 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = ((0g𝐺) + 𝑌))
521, 3grpass 17254 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑍) ∈ 𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
5336, 39, 22, 30, 52syl13anc 1320 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
541, 3, 42grplid 17275 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
5536, 30, 54syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → ((0g𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
5651, 53, 553eqtr3d 2652 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → (((invg𝐺)‘𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑌)
5741, 50, 563brtr3d 4614 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
5815, 57impbida 873 1 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  ltcplt 16764  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  oppgcoppg 17598  oGrpcogrp 29029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-ple 15788  df-0g 15925  df-plt 16781  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-oppg 17599  df-omnd 29030  df-ogrp 29031 This theorem is referenced by:  ogrpinvlt  29055
 Copyright terms: Public domain W3C validator