Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpinvlt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ogrpinvlt 28561
 Description: In an ordered group, the ordering is compatible with group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpinvlt.0
ogrpinvlt.1
ogrpinvlt.2
Assertion
Ref Expression
ogrpinvlt oGrp oppg oGrp

Proof of Theorem ogrpinvlt
StepHypRef Expression
1 simp1l 1054 . . . 4 oGrp oppg oGrp oGrp
2 simp2 1031 . . . 4 oGrp oppg oGrp
3 simp3 1032 . . . 4 oGrp oppg oGrp
4 ogrpgrp 28540 . . . . . 6 oGrp
51, 4syl 17 . . . . 5 oGrp oppg oGrp
6 ogrpinvlt.0 . . . . . 6
7 ogrpinvlt.2 . . . . . 6
86, 7grpinvcl 16789 . . . . 5
95, 3, 8syl2anc 673 . . . 4 oGrp oppg oGrp
10 ogrpinvlt.1 . . . . 5
11 eqid 2471 . . . . 5
126, 10, 11ogrpaddltbi 28556 . . . 4 oGrp
131, 2, 3, 9, 12syl13anc 1294 . . 3 oGrp oppg oGrp
14 eqid 2471 . . . . . 6
156, 11, 14, 7grprinv 16791 . . . . 5
165, 3, 15syl2anc 673 . . . 4 oGrp oppg oGrp
1716breq2d 4407 . . 3 oGrp oppg oGrp
18 simp1r 1055 . . . 4 oGrp oppg oGrp oppg oGrp
196, 11grpcl 16757 . . . . 5
205, 2, 9, 19syl3anc 1292 . . . 4 oGrp oppg oGrp
216, 14grpidcl 16772 . . . . 5
221, 4, 213syl 18 . . . 4 oGrp oppg oGrp
236, 7grpinvcl 16789 . . . . 5
245, 2, 23syl2anc 673 . . . 4 oGrp oppg oGrp
256, 10, 11, 1, 18, 20, 22, 24ogrpaddltrbid 28558 . . 3 oGrp oppg oGrp
2613, 17, 253bitrd 287 . 2 oGrp oppg oGrp
276, 11, 14, 7grplinv 16790 . . . . . 6
285, 2, 27syl2anc 673 . . . . 5 oGrp oppg oGrp
2928oveq1d 6323 . . . 4 oGrp oppg oGrp
306, 11grpass 16758 . . . . 5
315, 24, 2, 9, 30syl13anc 1294 . . . 4 oGrp oppg oGrp
326, 11, 14grplid 16774 . . . . 5
335, 9, 32syl2anc 673 . . . 4 oGrp oppg oGrp
3429, 31, 333eqtr3d 2513 . . 3 oGrp oppg oGrp
356, 11, 14grprid 16775 . . . 4
365, 24, 35syl2anc 673 . . 3 oGrp oppg oGrp
3734, 36breq12d 4408 . 2 oGrp oppg oGrp
3826, 37bitrd 261 1 oGrp oppg oGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199   cplusg 15268  c0g 15416  cplt 16264  cgrp 16747  cminusg 16748  oppgcoppg 17074  oGrpcogrp 28535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-ple 15288  df-0g 15418  df-plt 16282  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-oppg 17075  df-omnd 28536  df-ogrp 28537 This theorem is referenced by:  archirngz  28580  archiabllem2c  28586
 Copyright terms: Public domain W3C validator