Theorem dprdfadd 18242

Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdfadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
dprdfadd.b	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdfadd	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻))))

Distinct variable groups:   + ,ℎ   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   + (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfadd

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		eldprdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3	1, 2	dprddomcld 18223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
4		eldprdi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
5		eldprdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
6	4, 1, 2, 5	dprdfcl 18235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
7		dprdfadd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
8	4, 1, 2, 7	dprdfcl 18235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
9		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	4, 1, 2, 5, 9	dprdff 18234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
11	10	feqmptd 6159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
12	4, 1, 2, 7, 9	dprdff 18234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
13	12	feqmptd 6159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐻‘𝑥)))
14	3, 6, 8, 11, 13	offval2 6812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))))
15	1, 2	dprdf2 18229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
16	15	ffvelrnda 6267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		dprdfadd.b	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
18	17	subgcl 17427	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥)) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
19	16, 6, 8, 18	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
20	4, 1, 2, 5	dprdffsupp 18236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
21	4, 1, 2, 7	dprdffsupp 18236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
22	20, 21	fsuppunfi 8178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )) ∈ Fin)
23		ssun1 3738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 ))
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
25		eldprdi.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
26		fvex 6113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
27	25, 26	eqeltri 2684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
29	10, 24, 3, 28	suppssr 7213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
30		ssun2 3739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 ))
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
32	12, 31, 3, 28	suppssr 7213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → (𝐻‘𝑥) = 0 )
33	29, 32	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)) = ( 0 + 0 ))
34		dprdgrp 18227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
35	1, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
36	9, 25	grpidcl 17273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝐺))
38	9, 17, 25	grplid 17275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 + 0 ) = 0 )
39	35, 37, 38	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 0 + 0 ) = 0 )
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ( 0 + 0 ) = 0 )
41	33, 40	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)) = 0 )
42	41, 3	suppss2 7216	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
43		ssfi 8065	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )) ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 ))) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
44	22, 42, 43	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
45		funmpt 5840	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)))
46	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))))
47		mptexg 6389	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) ∈ V)
48	3, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) ∈ V)
49		funisfsupp 8163	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
50	46, 48, 28, 49	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
51	44, 50	mpbird 246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) finSupp 0 )
52	4, 1, 2, 19, 51	dprdwd 18233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) ∈ 𝑊)
53	14, 52	eqeltrd 2688	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) ∈ 𝑊)
54		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
55		grpmnd 17252	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
56	35, 55	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
57		eqid 2610	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 ) = ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 )
58	4, 1, 2, 5, 54	dprdfcntz 18237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
59	4, 1, 2, 7, 54	dprdfcntz 18237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐻))
60	4, 1, 2, 53, 54	dprdfcntz 18237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)))
61	56	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝐺 ∈ Mnd)
62		vex 3176	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝑥 ∈ V)
64		eldifi 3694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐼)
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥)) → 𝑘 ∈ 𝐼)
66		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
67	10, 65, 66	syl2an 493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
68	67	snssd 4281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺))
69	9, 54	cntzsubm 17591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺)) → ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
70	61, 68, 69	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
71	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
72		ffn 5958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺) → 𝐻 Fn 𝐼)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝐻 Fn 𝐼)
74		simprl 790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝑥 ⊆ 𝐼)
75		fnssres 5918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼) → (𝐻 ↾ 𝑥) Fn 𝑥)
76	73, 74, 75	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥) Fn 𝑥)
77		fvres 6117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) = (𝐻‘𝑦))
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) = (𝐻‘𝑦))
79	1	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐺dom DProd 𝑆)
80	2	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → dom 𝑆 = 𝐼)
81	79, 80	dprdf2 18229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
82	65	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐼)
83	81, 82	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑆‘𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺))
84	9	subgss 17418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆‘𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (Base‘𝐺))
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (Base‘𝐺))
86	5	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐹 ∈ 𝑊)
87	4, 79, 80, 86	dprdfcl 18235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
88	82, 87	mpdan 699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
89	88	snssd 4281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (𝑆‘𝑘))
90	9, 54	cntz2ss 17588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆‘𝑘) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (𝑆‘𝑘)) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑘)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
91	85, 89, 90	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑘)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
92	74	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐼)
93		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
94		simplrr 797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))
95	94	eldifbd 3553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑘 ∈ 𝑥)
96		nelne2 2879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑦 ≠ 𝑘)
97	93, 95, 96	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ≠ 𝑘)
98	79, 80, 92, 82, 97, 54	dprdcntz 18230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑆‘𝑦) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑘)))
99	7	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐻 ∈ 𝑊)
100	4, 79, 80, 99	dprdfcl 18235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑦) ∈ (𝑆‘𝑦))
101	92, 100	mpdan 699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐻‘𝑦) ∈ (𝑆‘𝑦))
102	98, 101	sseldd 3569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐻‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑘)))
103	91, 102	sseldd 3569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐻‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
104	78, 103	eqeltrd 2688	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
105	104	ralrimiva 2949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
106		ffnfv 6295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ↔ ((𝐻 ↾ 𝑥) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)})))
107	76, 105, 106	sylanbrc 695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
108		resss 5342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ 𝐻
109		rnss 5275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ 𝐻 → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻)
110	108, 109	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻
111	54	cntzidss 17593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝐻 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐻) ∧ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
112	59, 110, 111	sylancl 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
113	112	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
114	21, 28	fsuppres 8183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 )
115	114	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 )
116	25, 54, 61, 63, 70, 107, 113, 115	gsumzsubmcl 18141	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
117	116	snssd 4281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
118	71, 74	fssresd 5984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶(Base‘𝐺))
119	9, 25, 54, 61, 63, 118, 113, 115	gsumzcl 18135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ (Base‘𝐺))
120	119	snssd 4281	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ (Base‘𝐺))
121	9, 54	cntzrec 17589	. . . . . 6 ⊢ (({(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺)) → ({(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ↔ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))})))
122	120, 68, 121	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → ({(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ↔ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))})))
123	117, 122	mpbid 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → {(𝐹‘𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
124		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
125	124	snss 4259	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}) ↔ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
126	123, 125	sylibr 223	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
127	9, 25, 17, 54, 56, 3, 20, 21, 57, 10, 12, 58, 59, 60, 126	gsumzaddlem 18144	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
128	53, 127	jca 553	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793   supp csupp 7182  Xcixp 7794  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923   Σ_g cgsu 15924  Mndcmnd 17117  SubMndcsubmnd 17157  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571   DProd cdprd 18215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-dprd 18217

This theorem is referenced by:  dprdfsub  18243