MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmzsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmzsubg 17458
Description: The normalizer NG(S) of a subset 𝑆 of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmzsubg (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmzsubg
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnmz.1 . . . 4 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
2 ssrab2 3650 . . . 4 {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)} ⊆ 𝑋
31, 2eqsstri 3598 . . 3 𝑁𝑋
43a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁𝑋)
5 nmzsubg.2 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
6 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
75, 6grpidcl 17273 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
8 nmzsubg.3 . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
95, 8, 6grplid 17275 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
105, 8, 6grprid 17276 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 + (0g𝐺)) = 𝑧)
119, 10eqtr4d 2647 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑧) = (𝑧 + (0g𝐺)))
1211eleq1d 2672 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (((0g𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g𝐺)) ∈ 𝑆))
1312ralrimiva 2949 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑧𝑋 (((0g𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g𝐺)) ∈ 𝑆))
141elnmz 17456 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝑁 ↔ ((0g𝐺) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (((0g𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g𝐺)) ∈ 𝑆)))
157, 13, 14sylanbrc 695 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑁)
16 ne0i 3880 . . 3 ((0g𝐺) ∈ 𝑁𝑁 ≠ ∅)
1715, 16syl 17 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ≠ ∅)
18 id 22 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
193sseli 3564 . . . . . . . 8 (𝑧𝑁𝑧𝑋)
203sseli 3564 . . . . . . . 8 (𝑤𝑁𝑤𝑋)
215, 8grpcl 17253 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋)
2218, 19, 20, 21syl3an 1360 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋)
23 simpl1 1057 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
24 simpl2 1058 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑁)
253, 24sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑋)
26 simpl3 1059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑤𝑁)
273, 26sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑤𝑋)
28 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
295, 8grpass 17254 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋𝑢𝑋)) → ((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)))
3023, 25, 27, 28, 29syl13anc 1320 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)))
3130eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆))
325, 8grpcl 17253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤𝑋𝑢𝑋) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋)
3323, 27, 28, 32syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋)
341nmzbi 17457 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑁 ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆))
3524, 33, 34syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆))
365, 8grpass 17254 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤𝑋𝑢𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) = (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)))
3723, 27, 28, 25, 36syl13anc 1320 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) = (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)))
3837eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆))
395, 8grpcl 17253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝑋𝑧𝑋) → (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋)
4023, 28, 25, 39syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋)
411nmzbi 17457 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝑁 ∧ (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋) → ((𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
4226, 40, 41syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
4335, 38, 423bitrd 293 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
445, 8grpass 17254 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝑋𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)))
4523, 28, 25, 27, 44syl13anc 1320 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)))
4645eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
4731, 43, 463bitrd 293 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
4847ralrimiva 2949 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) → ∀𝑢𝑋 (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
491elnmz 17456 . . . . . . 7 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ↔ ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢𝑋 (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)))
5022, 48, 49sylanbrc 695 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
51503expa 1257 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑤𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
5251ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
53 eqid 2610 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
545, 53grpinvcl 17290 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
5519, 54sylan2 490 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
56 simplr 788 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑁)
57 simpll 786 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
5855adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
59 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
605, 8grpcl 17253 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋) → (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)
6157, 59, 58, 60syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)
625, 8grpcl 17253 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋)
6357, 58, 61, 62syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋)
641nmzbi 17457 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑁 ∧ (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆))
6556, 63, 64syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆))
663, 56sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑋)
675, 8, 6, 53grprinv 17292 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) = (0g𝐺))
6857, 66, 67syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) = (0g𝐺))
6968oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = ((0g𝐺) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))))
705, 8grpass 17254 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)) → ((𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))))
7157, 66, 58, 61, 70syl13anc 1320 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))))
725, 8, 6grplid 17275 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋) → ((0g𝐺) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))
7357, 61, 72syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((0g𝐺) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))
7469, 71, 733eqtr3d 2652 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) = (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))
7574eleq1d 2672 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
765, 8grpass 17254 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋𝑧𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)))
7757, 58, 61, 66, 76syl13anc 1320 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)))
785, 8grpass 17254 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = (𝑢 + (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧)))
7957, 59, 58, 66, 78syl13anc 1320 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = (𝑢 + (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧)))
805, 8, 6, 53grplinv 17291 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g𝐺))
8157, 66, 80syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g𝐺))
8281oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧)) = (𝑢 + (0g𝐺)))
835, 8, 6grprid 17276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + (0g𝐺)) = 𝑢)
8457, 59, 83syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + (0g𝐺)) = 𝑢)
8579, 82, 843eqtrd 2648 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = 𝑢)
8685oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)) = (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢))
8777, 86eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢))
8887eleq1d 2672 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆))
8965, 75, 883bitr3rd 298 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
9089ralrimiva 2949 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ∀𝑢𝑋 ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
911elnmz 17456 . . . . 5 (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁 ↔ (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢𝑋 ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆)))
9255, 90, 91sylanbrc 695 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁)
9352, 92jca 553 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → (∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))
9493ralrimiva 2949 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑧𝑁 (∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))
955, 8, 53issubg2 17432 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑁𝑋𝑁 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑁 (∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))))
964, 17, 94, 95mpbir3and 1238 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  {crab 2900  wss 3540  c0 3874  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  SubGrpcsubg 17411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414
This theorem is referenced by:  nmznsg  17461  sylow3lem3  17867  sylow3lem4  17868  sylow3lem6  17870
  Copyright terms: Public domain W3C validator