MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem3 17867
Description: Lemma for sylow3 17871, first part. The number of Sylow subgroups is the same as the index (number of cosets) of the normalizer of the Sylow subgroup 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a + = (+g𝐺)
sylow3lem1.d = (-g𝐺)
sylow3lem1.m = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem2.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem3 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,   𝑢, ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem3
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.xf . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 pwfi 8144 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
31, 2sylib 207 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
4 slwsubg 17848 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 sylow3.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
65subgss 17418 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥𝑋)
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥𝑋)
8 selpw 4115 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
97, 8sylibr 223 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
109ssriv 3572 . . . . 5 (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋
11 ssfi 8065 . . . . 5 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
123, 10, 11sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
13 hashcl 13009 . . . 4 ((𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 11230 . 2 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℂ)
16 sylow3.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
17 sylow3lem2.n . . . . . . . 8 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
18 sylow3lem1.a . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
1917, 5, 18nmzsubg 17458 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
215, 20eqger 17467 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
2216, 19, 213syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
2322qsss 7695 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋)
24 ssfi 8065 . . . . 5 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
253, 23, 24syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
26 hashcl 13009 . . . 4 ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 11230 . 2 (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℂ)
2916, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
30 eqid 2610 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3130subg0cl 17425 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑁)
32 ne0i 3880 . . . . 5 ((0g𝐺) ∈ 𝑁𝑁 ≠ ∅)
3329, 31, 323syl 18 . . . 4 (𝜑𝑁 ≠ ∅)
345subgss 17418 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝑋)
3516, 19, 343syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝑋)
36 ssfi 8065 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑋) → 𝑁 ∈ Fin)
371, 35, 36syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
38 hashnncl 13018 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → ((#‘𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
4033, 39mpbird 246 . . 3 (𝜑 → (#‘𝑁) ∈ ℕ)
4140nncnd 10913 . 2 (𝜑 → (#‘𝑁) ∈ ℂ)
4240nnne0d 10942 . 2 (𝜑 → (#‘𝑁) ≠ 0)
43 sylow3.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
44 sylow3lem1.d . . . . 5 = (-g𝐺)
45 sylow3lem1.m . . . . 5 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
465, 16, 1, 43, 18, 44, 45sylow3lem1 17865 . . . 4 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
47 sylow3lem2.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
48 sylow3lem2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
49 eqid 2610 . . . . 5 (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
50 eqid 2610 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
515, 48, 49, 50orbsta2 17570 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (#‘𝑋) = ((#‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (#‘𝐻)))
5246, 47, 1, 51syl21anc 1317 . . 3 (𝜑 → (#‘𝑋) = ((#‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (#‘𝐻)))
535, 20, 29, 1lagsubg2 17478 . . 3 (𝜑 → (#‘𝑋) = ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
5450, 5gaorber 17564 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} Er (𝑃 pSyl 𝐺))
5546, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} Er (𝑃 pSyl 𝐺))
5655ecss 7675 . . . . . 6 (𝜑 → [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺))
5747adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
58 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
591adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑋 ∈ Fin)
605, 59, 58, 57, 18, 44sylow2 17864 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∃𝑢𝑋 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
61 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 𝐾) = = (𝑢 𝐾))
62 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
6357adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
64 mptexg 6389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
65 rnexg 6990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V → ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
67 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → 𝑦 = 𝐾)
68 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → 𝑥 = 𝑢)
6968oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑢 + 𝑧))
7069, 68oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))
7167, 70mpteq12dv 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7271rneqd 5274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7372, 45ovmpt2ga 6688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢𝑋𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7462, 63, 66, 73syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7574eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ( = (𝑢 𝐾) ↔ = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7661, 75syl5bb 271 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 𝐾) = = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7776rexbidva 3031 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = ↔ ∃𝑢𝑋 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7860, 77mpbird 246 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = )
7950gaorb 17563 . . . . . . . . . 10 (𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = ))
8057, 58, 78, 79syl3anbrc 1239 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)})
81 elecg 7672 . . . . . . . . . 10 (( ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ( ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}))
8258, 57, 81syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ( ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}))
8380, 82mpbird 246 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)})
8483ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}))
8584ssrdv 3574 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)})
8656, 85eqssd 3585 . . . . 5 (𝜑 → [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} = (𝑃 pSyl 𝐺))
8786fveq2d 6107 . . . 4 (𝜑 → (#‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) = (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)))
885, 16, 1, 43, 18, 44, 45, 47, 48, 17sylow3lem2 17866 . . . . 5 (𝜑𝐻 = 𝑁)
8988fveq2d 6107 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐻) = (#‘𝑁))
9087, 89oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → ((#‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (#‘𝐻)) = ((#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) · (#‘𝑁)))
9152, 53, 903eqtr3rd 2653 . 2 (𝜑 → ((#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) · (#‘𝑁)) = ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
9215, 28, 41, 42, 91mulcan2ad 10542 1 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  wss 3540  c0 3874  𝒫 cpw 4108  {cpr 4127   class class class wbr 4583  {copab 4642  cmpt 4643  ran crn 5039  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551   Er wer 7626  [cec 7627   / cqs 7628  Fincfn 7841   · cmul 9820  cn 10897  0cn0 11169  #chash 12979  cprime 15223  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  SubGrpcsubg 17411   ~QG cqg 17413   GrpAct cga 17545   pSyl cslw 17770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-ga 17546  df-od 17771  df-pgp 17773  df-slw 17774
This theorem is referenced by:  sylow3lem4  17868
  Copyright terms: Public domain W3C validator