MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subg0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subg0cl 17425
Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subg0cl.i 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
subg0cl (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑆)

Proof of Theorem subg0cl
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
21subggrp 17420 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
3 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
4 eqid 2610 . . . 4 (0g‘(𝐺s 𝑆)) = (0g‘(𝐺s 𝑆))
53, 4grpidcl 17273 . . 3 ((𝐺s 𝑆) ∈ Grp → (0g‘(𝐺s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
62, 5syl 17 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘(𝐺s 𝑆)) ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
7 subg0cl.i . . 3 0 = (0g𝐺)
81, 7subg0 17423 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺s 𝑆)))
91subgbas 17421 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
106, 8, 93eltr4d 2703 1 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  s cress 15696  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-subg 17414
This theorem is referenced by:  subgmulgcl  17430  issubg3  17435  issubg4  17436  subgint  17441  eqger  17467  ghmpreima  17505  subgga  17556  gasubg  17558  sylow1lem5  17840  sylow2blem2  17859  sylow2blem3  17860  fislw  17863  sylow3lem3  17867  sylow3lem4  17868  lsm01  17907  lsm02  17908  lsmdisj  17917  lsmdisj2  17918  pj1lid  17937  pj1rid  17938  dmdprdd  18221  dprdfid  18239  dprdfeq0  18244  dprdsubg  18246  dprdres  18250  dprdz  18252  dprdsn  18258  dmdprdsplitlem  18259  dprddisj2  18261  dprd2da  18264  dmdprdsplit2lem  18267  ablfacrp  18288  ablfacrp2  18289  ablfac1c  18293  ablfac1eu  18295  pgpfac1lem3a  18298  pgpfac1lem3  18299  pgpfac1lem5  18301  pgpfaclem2  18304  pgpfaclem3  18305  abvres  18662  islss4  18783  subrgpsr  19240  mpllsslem  19256  0elcpmat  20346  opnsubg  21721  clssubg  21722  tgpconcompss  21727  plypf1  23772  dvply2g  23844  efsubm  24101  dchrptlem3  24791  fsumcnsrcl  36755  cnsrplycl  36756  rngunsnply  36762
  Copyright terms: Public domain W3C validator