Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sylow3lem3 17281
 Description: Lemma for sylow3 17285, first part. The number of Sylow subgroups is the same as the index (number of cosets) of the normalizer of the Sylow subgroup . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x
sylow3.g
sylow3.xf
sylow3.p
sylow3lem1.a
sylow3lem1.d
sylow3lem1.m pSyl
sylow3lem2.k pSyl
sylow3lem2.h
sylow3lem2.n
Assertion
Ref Expression
sylow3lem3 pSyl ~QG
Distinct variable groups:   ,,,,   , ,,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   , ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem sylow3lem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.xf . . . . . 6
2 pwfi 7869 . . . . . 6
31, 2sylib 200 . . . . 5
4 slwsubg 17262 . . . . . . . 8 pSyl SubGrp
5 sylow3.x . . . . . . . . 9
65subgss 16818 . . . . . . . 8 SubGrp
74, 6syl 17 . . . . . . 7 pSyl
8 selpw 3958 . . . . . . 7
97, 8sylibr 216 . . . . . 6 pSyl
109ssriv 3436 . . . . 5 pSyl
11 ssfi 7792 . . . . 5 pSyl pSyl
123, 10, 11sylancl 668 . . . 4 pSyl
13 hashcl 12538 . . . 4 pSyl pSyl
1412, 13syl 17 . . 3 pSyl
1514nn0cnd 10927 . 2 pSyl
16 sylow3.g . . . . . . 7
17 sylow3lem2.n . . . . . . . 8
18 sylow3lem1.a . . . . . . . 8
1917, 5, 18nmzsubg 16858 . . . . . . 7 SubGrp
20 eqid 2451 . . . . . . . 8 ~QG ~QG
215, 20eqger 16867 . . . . . . 7 SubGrp ~QG
2216, 19, 213syl 18 . . . . . 6 ~QG
2322qsss 7424 . . . . 5 ~QG
24 ssfi 7792 . . . . 5 ~QG ~QG
253, 23, 24syl2anc 667 . . . 4 ~QG
26 hashcl 12538 . . . 4 ~QG ~QG
2725, 26syl 17 . . 3 ~QG
2827nn0cnd 10927 . 2 ~QG
2916, 19syl 17 . . . . 5 SubGrp
30 eqid 2451 . . . . . 6
3130subg0cl 16825 . . . . 5 SubGrp
32 ne0i 3737 . . . . 5
3329, 31, 323syl 18 . . . 4
345subgss 16818 . . . . . . 7 SubGrp
3516, 19, 343syl 18 . . . . . 6
36 ssfi 7792 . . . . . 6
371, 35, 36syl2anc 667 . . . . 5
38 hashnncl 12547 . . . . 5
3937, 38syl 17 . . . 4
4033, 39mpbird 236 . . 3
4140nncnd 10625 . 2
4240nnne0d 10654 . 2
43 sylow3.p . . . . 5
44 sylow3lem1.d . . . . 5
45 sylow3lem1.m . . . . 5 pSyl
465, 16, 1, 43, 18, 44, 45sylow3lem1 17279 . . . 4 pSyl
47 sylow3lem2.k . . . 4 pSyl
48 sylow3lem2.h . . . . 5
49 eqid 2451 . . . . 5 ~QG ~QG
50 eqid 2451 . . . . 5 pSyl pSyl
515, 48, 49, 50orbsta2 16968 . . . 4 pSyl pSyl pSyl
5246, 47, 1, 51syl21anc 1267 . . 3 pSyl
535, 20, 29, 1lagsubg2 16878 . . 3 ~QG
5450, 5gaorber 16962 . . . . . . . 8 pSyl pSyl pSyl
5546, 54syl 17 . . . . . . 7 pSyl pSyl
5655ecss 7405 . . . . . 6 pSyl pSyl
5747adantr 467 . . . . . . . . . 10 pSyl pSyl
58 simpr 463 . . . . . . . . . 10 pSyl pSyl
591adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 pSyl
605, 59, 58, 57, 18, 44sylow2 17278 . . . . . . . . . . 11 pSyl
61 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . 13
62 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
6357adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl pSyl
64 mptexg 6135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pSyl
65 rnexg 6725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
67 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
68 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6968oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7069, 68oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7167, 70mpteq12dv 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7271rneqd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7372, 45ovmpt2ga 6426 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
7462, 63, 66, 73syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
7574eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl
7661, 75syl5bb 261 . . . . . . . . . . . 12 pSyl
7776rexbidva 2898 . . . . . . . . . . 11 pSyl
7860, 77mpbird 236 . . . . . . . . . 10 pSyl
7950gaorb 16961 . . . . . . . . . 10 pSyl pSyl pSyl
8057, 58, 78, 79syl3anbrc 1192 . . . . . . . . 9 pSyl pSyl
81 elecg 7402 . . . . . . . . . 10 pSyl pSyl pSyl pSyl
8258, 57, 81syl2anc 667 . . . . . . . . 9 pSyl pSyl pSyl
8380, 82mpbird 236 . . . . . . . 8 pSyl pSyl
8483ex 436 . . . . . . 7 pSyl pSyl
8584ssrdv 3438 . . . . . 6 pSyl pSyl
8656, 85eqssd 3449 . . . . 5 pSyl pSyl
8786fveq2d 5869 . . . 4 pSyl pSyl
885, 16, 1, 43, 18, 44, 45, 47, 48, 17sylow3lem2 17280 . . . . 5
8988fveq2d 5869 . . . 4
9087, 89oveq12d 6308 . . 3 pSyl pSyl
9152, 53, 903eqtr3rd 2494 . 2 pSyl ~QG
9215, 28, 41, 42, 91mulcan2ad 10248 1 pSyl ~QG
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738  crab 2741  cvv 3045   wss 3404  c0 3731  cpw 3951  cpr 3970   class class class wbr 4402  copab 4460   cmpt 4461   crn 4835  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmpt2 6292   wer 7360  cec 7361  cqs 7362  cfn 7569   cmul 9544  cn 10609  cn0 10869  chash 12515  cprime 14622  cbs 15121   cplusg 15190  c0g 15338  cgrp 16669  csg 16671  SubGrpcsubg 16811   ~QG cqg 16813   cga 16943   pSyl cslw 17171 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-ec 7365  df-qs 7369  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623  df-pc 14787  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-eqg 16816  df-ghm 16881  df-ga 16944  df-od 17172  df-pgp 17176  df-slw 17178 This theorem is referenced by:  sylow3lem4  17282
 Copyright terms: Public domain W3C validator