Theorem pwfi 8144

Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
pwfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem pwfi

Dummy variables 𝑚 𝑘 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7865	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑚)
2		pweq 4111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = ∅ → 𝒫 𝑚 = 𝒫 ∅)
3	2	eleq1d 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 ∅ ∈ Fin))
4		pweq 4111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 𝑘)
5	4	eleq1d 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑘 ∈ Fin))
6		pweq 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 suc 𝑘)
7		df-suc 5646	. . . . . . . . 9 ⊢ suc 𝑘 = (𝑘 ∪ {𝑘})
8	7	pweqi 4112	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 suc 𝑘 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘})
9	6, 8	syl6eq 2660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → 𝒫 𝑚 = 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}))
10	9	eleq1d 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = suc 𝑘 → (𝒫 𝑚 ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
11		pw0 4283	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
12		df1o2 7459	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 = {∅}
13	11, 12	eqtr4i 2635	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 ∅ = 1𝑜
14		1onn 7606	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
15		ssid 3587	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ⊆ 1𝑜
16		ssnnfi 8064	. . . . . . . 8 ⊢ ((1𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ⊆ 1𝑜) → 1𝑜 ∈ Fin)
17	14, 15, 16	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ Fin
18	13, 17	eqeltri 2684	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Fin
19		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘})) = (𝑐 ∈ 𝒫 𝑘 ↦ (𝑐 ∪ {𝑘}))
20	19	pwfilem 8143	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin)
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝒫 𝑘 ∈ Fin → 𝒫 (𝑘 ∪ {𝑘}) ∈ Fin))
22	3, 5, 10, 18, 21	finds1 6987	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝒫 𝑚 ∈ Fin)
23		pwen 8018	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑚 → 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚)
24		enfii 8062	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝑚 ∈ Fin ∧ 𝒫 𝐴 ≈ 𝒫 𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
25	22, 23, 24	syl2an 493	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑚) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
26	25	rexlimiva 3010	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑚 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
27	1, 26	sylbi 206	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
28		elex 3185	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ V)
29		pwexb 6867	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
30	28, 29	sylibr 223	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
31		canth2g 7999	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
32		sdomdom 7869	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
34		domfi 8066	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
35	33, 34	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
36	27, 35	impbii 198	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  suc csuc 5642  ωcom 6957  1_𝑜c1o 7440   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  Fincfn 7841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845

This theorem is referenced by:  mapfi  8145  r1fin  8519  dfac12k  8852  pwsdompw  8909  ackbij1lem5  8929  ackbij1lem9  8933  ackbij1lem10  8934  ackbij1lem14  8938  ackbij1b  8944  isfin1-2  9090  isfin1-3  9091  domtriomlem  9147  dominf  9150  dominfac  9274  gchhar  9380  omina  9392  gchina  9400  hashpw  13083  hashbclem  13093  qshash  14398  ackbijnn  14399  incexclem  14407  incexc  14408  incexc2  14409  hashbccl  15545  lagsubg2  17478  lagsubg  17479  orbsta2  17570  sylow1lem3  17838  sylow1lem5  17840  sylow2alem2  17856  sylow2a  17857  sylow2blem2  17859  sylow2blem3  17860  sylow3lem3  17867  sylow3lem4  17868  sylow3lem6  17870  pgpfac1lem5  18301  discmp  21011  cmpfi  21021  dis1stc  21112  1stckgenlem  21166  ptcmpfi  21426  fiufl  21530  musum  24717  qerclwwlknfi  26357  hasheuni  29474  coinfliplem  29867  ballotth  29926  erdszelem2  30428  kelac2lem  36652  pwinfig  36885  qerclwwlksnfi  41257