Theorem pwfi 7606

Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
pwfi	|- ( A e. Fin <-> ~P A e. Fin )

Proof of Theorem pwfi

Dummy variables m k c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7333	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. m e. om A ~~ m )
2		pweq 3863	. . . . . . 7 |- ( m = (/) -> ~P m = ~P (/) )
3	2	eleq1d 2509	. . . . . 6 |- ( m = (/) -> ( ~P m e. Fin <-> ~P (/) e. Fin ) )
4		pweq 3863	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ~P m = ~P k )
5	4	eleq1d 2509	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( ~P m e. Fin <-> ~P k e. Fin ) )
6		pweq 3863	. . . . . . . 8 |- ( m = suc k -> ~P m = ~P suc k )
7		df-suc 4725	. . . . . . . . 9 |- suc k = ( k u. { k } )
8	7	pweqi 3864	. . . . . . . 8 |- ~P suc k = ~P ( k u. { k } )
9	6, 8	syl6eq 2491	. . . . . . 7 |- ( m = suc k -> ~P m = ~P ( k u. { k } ) )
10	9	eleq1d 2509	. . . . . 6 |- ( m = suc k -> ( ~P m e. Fin <-> ~P ( k u. { k } ) e. Fin ) )
11		pw0 4020	. . . . . . . 8 |- ~P (/) = { (/) }
12		df1o2 6932	. . . . . . . 8 |- 1o = { (/) }
13	11, 12	eqtr4i 2466	. . . . . . 7 |- ~P (/) = 1o
14		1onn 7078	. . . . . . . 8 |- 1o e. om
15		ssid 3375	. . . . . . . 8 |- 1o C_ 1o
16		ssnnfi 7532	. . . . . . . 8 |- ( ( 1o e. om /\ 1o C_ 1o ) -> 1o e. Fin )
17	14, 15, 16	mp2an 672	. . . . . . 7 |- 1o e. Fin
18	13, 17	eqeltri 2513	. . . . . 6 |- ~P (/) e. Fin
19		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( c e. ~P k |-> ( c u. { k } ) ) = ( c e. ~P k |-> ( c u. { k } ) )
20	19	pwfilem 7605	. . . . . . 7 |- ( ~P k e. Fin -> ~P ( k u. { k } ) e. Fin )
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( k e. om -> ( ~P k e. Fin -> ~P ( k u. { k } ) e. Fin ) )
22	3, 5, 10, 18, 21	finds1 6505	. . . . 5 |- ( m e. om -> ~P m e. Fin )
23		pwen 7484	. . . . 5 |- ( A ~~ m -> ~P A ~~ ~P m )
24		enfii 7530	. . . . 5 |- ( ( ~P m e. Fin /\ ~P A ~~ ~P m ) -> ~P A e. Fin )
25	22, 23, 24	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( m e. om /\ A ~~ m ) -> ~P A e. Fin )
26	25	rexlimiva 2836	. . 3 |- ( E. m e. om A ~~ m -> ~P A e. Fin )
27	1, 26	sylbi 195	. 2 |- ( A e. Fin -> ~P A e. Fin )
28		elex 2981	. . . . 5 |- ( ~P A e. Fin -> ~P A e. _V )
29		pwexb 6387	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> ~P A e. _V )
30	28, 29	sylibr 212	. . . 4 |- ( ~P A e. Fin -> A e. _V )
31		canth2g 7465	. . . 4 |- ( A e. _V -> A ~< ~P A )
32		sdomdom 7337	. . . 4 |- ( A ~< ~P A -> A ~<_ ~P A )
33	30, 31, 32	3syl 20	. . 3 |- ( ~P A e. Fin -> A ~<_ ~P A )
34		domfi 7534	. . 3 |- ( ( ~P A e. Fin /\ A ~<_ ~P A ) -> A e. Fin )
35	33, 34	mpdan 668	. 2 |- ( ~P A e. Fin -> A e. Fin )
36	27, 35	impbii 188	1 |- ( A e. Fin <-> ~P A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   u. cun 3326   C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   {csn 3877   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   suc csuc 4721   omcom 6476   1oc1o 6913   ~~ cen 7307   ~<_ cdom 7308   ~< csdm 7309   Fincfn 7310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314

This theorem is referenced by:  mapfi  7607  r1fin  7980  dfac12k  8316  pwsdompw  8373  ackbij1lem5  8393  ackbij1lem9  8397  ackbij1lem10  8398  ackbij1lem14  8402  ackbij1b  8408  isfin1-2  8554  isfin1-3  8555  domtriomlem  8611  dominf  8614  dominfac  8737  gchhar  8846  omina  8858  gchina  8866  hashpw  12198  hashbclem  12205  qshash  13290  ackbijnn  13291  incexclem  13299  incexc  13300  incexc2  13301  hashbccl  14064  lagsubg2  15742  lagsubg  15743  orbsta2  15832  sylow1lem3  16099  sylow1lem5  16101  sylow2alem2  16117  sylow2a  16118  sylow2blem2  16120  sylow2blem3  16121  sylow3lem3  16128  sylow3lem4  16129  sylow3lem6  16131  pgpfac1lem5  16580  discmp  19001  cmpfi  19011  dis1stc  19103  1stckgenlem  19126  ptcmpfi  19386  fiufl  19489  musum  22531  hasheuni  26534  coinfliplem  26861  ballotth  26920  erdszelem2  27080  kelac2lem  29417  qerclwwlknfi  30503