MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfi Unicode version

Theorem pwfi 7035
Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
pwfi  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )

Proof of Theorem pwfi
StepHypRef Expression
1 isfi 6771 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  A  ~~  m
)
2 pweq 3533 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (/)  ->  ~P m  =  ~P (/) )
32eleq1d 2319 . . . . . 6  |-  ( m  =  (/)  ->  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P (/)  e.  Fin ) )
4 pweq 3533 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ~P m  =  ~P k
)
54eleq1d 2319 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P k  e.  Fin )
)
6 pweq 3533 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  suc  k  ->  ~P m  =  ~P suc  k )
7 df-suc 4291 . . . . . . . . 9  |-  suc  k  =  ( k  u. 
{ k } )
87pweqi 3534 . . . . . . . 8  |-  ~P suc  k  =  ~P (
k  u.  { k } )
96, 8syl6eq 2301 . . . . . . 7  |-  ( m  =  suc  k  ->  ~P m  =  ~P ( k  u.  {
k } ) )
109eleq1d 2319 . . . . . 6  |-  ( m  =  suc  k  -> 
( ~P m  e. 
Fin 
<->  ~P ( k  u. 
{ k } )  e.  Fin ) )
11 pw0 3662 . . . . . . . 8  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
12 df1o2 6377 . . . . . . . 8  |-  1o  =  { (/) }
1311, 12eqtr4i 2276 . . . . . . 7  |-  ~P (/)  =  1o
14 1onn 6523 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
15 ssid 3118 . . . . . . . 8  |-  1o  C_  1o
16 ssnnfi 6967 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  C_  1o )  ->  1o  e.  Fin )
1714, 15, 16mp2an 656 . . . . . . 7  |-  1o  e.  Fin
1813, 17eqeltri 2323 . . . . . 6  |-  ~P (/)  e.  Fin
19 eqid 2253 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ~P k  |->  ( c  u.  { k } ) )  =  ( c  e.  ~P k  |->  ( c  u. 
{ k } ) )
2019pwfilem 7034 . . . . . . 7  |-  ( ~P k  e.  Fin  ->  ~P ( k  u.  {
k } )  e. 
Fin )
2120a1i 12 . . . . . 6  |-  ( k  e.  om  ->  ( ~P k  e.  Fin  ->  ~P ( k  u. 
{ k } )  e.  Fin ) )
223, 5, 10, 18, 21finds1 4576 . . . . 5  |-  ( m  e.  om  ->  ~P m  e.  Fin )
23 pwen 6919 . . . . 5  |-  ( A 
~~  m  ->  ~P A  ~~  ~P m )
24 enfii 6965 . . . . 5  |-  ( ( ~P m  e.  Fin  /\ 
~P A  ~~  ~P m )  ->  ~P A  e.  Fin )
2522, 23, 24syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( m  e.  om  /\  A  ~~  m )  ->  ~P A  e.  Fin )
2625rexlimiva 2624 . . 3  |-  ( E. m  e.  om  A  ~~  m  ->  ~P A  e.  Fin )
271, 26sylbi 189 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
28 elex 2735 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  _V )
29 pwexb 4455 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P A  e.  _V )
3028, 29sylibr 205 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  e.  _V )
31 canth2g 6900 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~<  ~P A )
32 sdomdom 6775 . . . 4  |-  ( A 
~<  ~P A  ->  A  ~<_  ~P A )
3330, 31, 323syl 20 . . 3  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  ~<_  ~P A )
34 domfi 6969 . . 3  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\  A  ~<_  ~P A )  ->  A  e.  Fin )
3533, 34mpdan 652 . 2  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
3627, 35impbii 182 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    u. cun 3076    C_ wss 3078   (/)c0 3362   ~Pcpw 3530   {csn 3544   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   suc csuc 4287   omcom 4547   1oc1o 6358    ~~ cen 6746    ~<_ cdom 6747    ~< csdm 6748   Fincfn 6749
This theorem is referenced by:  mapfi  7036  r1fin  7329  dfac12k  7657  pwsdompw  7714  ackbij1lem5  7734  ackbij1lem9  7738  ackbij1lem10  7739  ackbij1lem14  7743  ackbij1b  7749  isfin1-2  7895  isfin1-3  7896  domtriomlem  7952  dominf  7955  dominfac  8075  gchhar  8173  omina  8193  gchina  8201  hashpw  11265  hashbclem  11267  qshash  12162  ackbijnn  12163  hashbccl  12924  lagsubg2  14513  lagsubg  14514  orbsta2  14603  sylow1lem3  14746  sylow1lem5  14748  sylow2alem2  14764  sylow2a  14765  sylow2blem2  14767  sylow2blem3  14768  sylow3lem3  14775  sylow3lem4  14776  sylow3lem6  14778  pgpfac1lem5  15149  discmp  16957  cmpfi  16967  dis1stc  17057  1stckgenlem  17080  ptcmpfi  17336  fiufl  17443  musum  20263  erdszelem2  22894  unfinsef  24234  kelac2lem  26328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753
  Copyright terms: Public domain W3C validator