MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfi Structured version   Unicode version

Theorem pwfi 7815
Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
pwfi  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )

Proof of Theorem pwfi
Dummy variables  m  k  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7539 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  A  ~~  m
)
2 pweq 4013 . . . . . . 7  |-  ( m  =  (/)  ->  ~P m  =  ~P (/) )
32eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( m  =  (/)  ->  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P (/)  e.  Fin ) )
4 pweq 4013 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ~P m  =  ~P k
)
54eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P k  e.  Fin )
)
6 pweq 4013 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  suc  k  ->  ~P m  =  ~P suc  k )
7 df-suc 4884 . . . . . . . . 9  |-  suc  k  =  ( k  u. 
{ k } )
87pweqi 4014 . . . . . . . 8  |-  ~P suc  k  =  ~P (
k  u.  { k } )
96, 8syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( m  =  suc  k  ->  ~P m  =  ~P ( k  u.  {
k } ) )
109eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( m  =  suc  k  -> 
( ~P m  e. 
Fin 
<->  ~P ( k  u. 
{ k } )  e.  Fin ) )
11 pw0 4174 . . . . . . . 8  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
12 df1o2 7142 . . . . . . . 8  |-  1o  =  { (/) }
1311, 12eqtr4i 2499 . . . . . . 7  |-  ~P (/)  =  1o
14 1onn 7288 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
15 ssid 3523 . . . . . . . 8  |-  1o  C_  1o
16 ssnnfi 7739 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  C_  1o )  ->  1o  e.  Fin )
1714, 15, 16mp2an 672 . . . . . . 7  |-  1o  e.  Fin
1813, 17eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  ~P (/)  e.  Fin
19 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ~P k  |->  ( c  u.  { k } ) )  =  ( c  e.  ~P k  |->  ( c  u. 
{ k } ) )
2019pwfilem 7814 . . . . . . 7  |-  ( ~P k  e.  Fin  ->  ~P ( k  u.  {
k } )  e. 
Fin )
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( k  e.  om  ->  ( ~P k  e.  Fin  ->  ~P ( k  u. 
{ k } )  e.  Fin ) )
223, 5, 10, 18, 21finds1 6713 . . . . 5  |-  ( m  e.  om  ->  ~P m  e.  Fin )
23 pwen 7690 . . . . 5  |-  ( A 
~~  m  ->  ~P A  ~~  ~P m )
24 enfii 7737 . . . . 5  |-  ( ( ~P m  e.  Fin  /\ 
~P A  ~~  ~P m )  ->  ~P A  e.  Fin )
2522, 23, 24syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( m  e.  om  /\  A  ~~  m )  ->  ~P A  e.  Fin )
2625rexlimiva 2951 . . 3  |-  ( E. m  e.  om  A  ~~  m  ->  ~P A  e.  Fin )
271, 26sylbi 195 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
28 elex 3122 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  _V )
29 pwexb 6595 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P A  e.  _V )
3028, 29sylibr 212 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  e.  _V )
31 canth2g 7671 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~<  ~P A )
32 sdomdom 7543 . . . 4  |-  ( A 
~<  ~P A  ->  A  ~<_  ~P A )
3330, 31, 323syl 20 . . 3  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  ~<_  ~P A )
34 domfi 7741 . . 3  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\  A  ~<_  ~P A )  ->  A  e.  Fin )
3533, 34mpdan 668 . 2  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
3627, 35impbii 188 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   suc csuc 4880   omcom 6684   1oc1o 7123    ~~ cen 7513    ~<_ cdom 7514    ~< csdm 7515   Fincfn 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520
This theorem is referenced by:  mapfi  7816  r1fin  8191  dfac12k  8527  pwsdompw  8584  ackbij1lem5  8604  ackbij1lem9  8608  ackbij1lem10  8609  ackbij1lem14  8613  ackbij1b  8619  isfin1-2  8765  isfin1-3  8766  domtriomlem  8822  dominf  8825  dominfac  8948  gchhar  9057  omina  9069  gchina  9077  hashpw  12460  hashbclem  12467  qshash  13602  ackbijnn  13603  incexclem  13611  incexc  13612  incexc2  13613  hashbccl  14380  lagsubg2  16067  lagsubg  16068  orbsta2  16157  sylow1lem3  16426  sylow1lem5  16428  sylow2alem2  16444  sylow2a  16445  sylow2blem2  16447  sylow2blem3  16448  sylow3lem3  16455  sylow3lem4  16456  sylow3lem6  16458  pgpfac1lem5  16932  discmp  19692  cmpfi  19702  dis1stc  19794  1stckgenlem  19817  ptcmpfi  20077  fiufl  20180  musum  23223  qerclwwlknfi  24533  hasheuni  27759  coinfliplem  28085  ballotth  28144  erdszelem2  28304  kelac2lem  30642
  Copyright terms: Public domain W3C validator