Theorem hashpw 13083

Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashpw	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴)))

Proof of Theorem hashpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4111	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
2	1	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝒫 𝑥) = (#‘𝒫 𝐴))
3		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝑥) = (#‘𝐴))
4	3	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (2↑(#‘𝑥)) = (2↑(#‘𝐴)))
5	2, 4	eqeq12d 2625	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((#‘𝒫 𝑥) = (2↑(#‘𝑥)) ↔ (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴))))
6		vex 3176	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	pw2en 7952	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)
8		pwfi 8144	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
9	8	biimpi 205	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
10		df2o2 7461	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 = {∅, {∅}}
11		prfi 8120	. . . . . . 7 ⊢ {∅, {∅}} ∈ Fin
12	10, 11	eqeltri 2684	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 ∈ Fin
13		mapfi 8145	. . . . . 6 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin)
14	12, 13	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin)
15		hashen 12997	. . . . 5 ⊢ ((𝒫 𝑥 ∈ Fin ∧ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥) ∈ Fin) → ((#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
16	9, 14, 15	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) ↔ 𝒫 𝑥 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
17	7, 16	mpbiri 247	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝑥) = (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)))
18		hashmap 13082	. . . . 5 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)))
19	12, 18	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)))
20		hash2 13054	. . . . 5 ⊢ (#‘2𝑜) = 2
21	20	oveq1i 6559	. . . 4 ⊢ ((#‘2𝑜)↑(#‘𝑥)) = (2↑(#‘𝑥))
22	19, 21	syl6eq 2660	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘(2𝑜 ↑𝑚 𝑥)) = (2↑(#‘𝑥)))
23	17, 22	eqtrd 2644	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝑥) = (2↑(#‘𝑥)))
24	5, 23	vtoclga 3245	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝒫 𝐴) = (2↑(#‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2_𝑜c2o 7441   ↑_𝑚 cmap 7744   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  2c2 10947  ↑cexp 12722  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  ackbijnn  14399