MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashpw Structured version   Unicode version

Theorem hashpw 12545
Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashpw  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A
) ) )

Proof of Theorem hashpw
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 3960 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ~P x  =  ~P A
)
21fveq2d 5855 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( # `  ~P A ) )
3 fveq2 5851 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
43oveq2d 6296 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
2 ^ ( # `  x ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 A ) ) )
52, 4eqeq12d 2426 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  ~P x
)  =  ( 2 ^ ( # `  x
) )  <->  ( # `  ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A ) ) ) )
6 vex 3064 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
76pw2en 7664 . . . 4  |-  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
)
8 pwfi 7851 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  <->  ~P x  e.  Fin )
98biimpi 196 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  ->  ~P x  e.  Fin )
10 df2o2 7183 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
11 prfi 7831 . . . . . . 7  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  Fin
1210, 11eqeltri 2488 . . . . . 6  |-  2o  e.  Fin
13 mapfi 7852 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  x  e.  Fin )  ->  ( 2o  ^m  x
)  e.  Fin )
1412, 13mpan 670 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( 2o  ^m  x )  e. 
Fin )
15 hashen 12469 . . . . 5  |-  ( ( ~P x  e.  Fin  /\  ( 2o  ^m  x
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ~P x )  =  (
# `  ( 2o  ^m  x ) )  <->  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
) ) )
169, 14, 15syl2anc 661 . . . 4  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( # `  ~P x
)  =  ( # `  ( 2o  ^m  x
) )  <->  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
) ) )
177, 16mpbiri 235 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( # `  ( 2o  ^m  x ) ) )
18 hashmap 12544 . . . . 5  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  x  e.  Fin )  ->  ( # `  ( 2o  ^m  x ) )  =  ( ( # `  2o ) ^ ( # `
 x ) ) )
1912, 18mpan 670 . . . 4  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 2o  ^m  x ) )  =  ( ( # `  2o ) ^ ( # `  x
) ) )
20 hash2 12521 . . . . 5  |-  ( # `  2o )  =  2
2120oveq1i 6290 . . . 4  |-  ( (
# `  2o ) ^ ( # `  x
) )  =  ( 2 ^ ( # `  x ) )
2219, 21syl6eq 2461 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 2o  ^m  x ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 x ) ) )
2317, 22eqtrd 2445 . 2  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( 2 ^ ( # `  x
) ) )
245, 23vtoclga 3125 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    = wceq 1407    e. wcel 1844   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   {csn 3974   {cpr 3976   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   2oc2o 7163    ^m cmap 7459    ~~ cen 7553   Fincfn 7556   2c2 10628   ^cexp 12212   #chash 12454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455
This theorem is referenced by:  ackbijnn  13793
  Copyright terms: Public domain W3C validator