MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashpw Structured version   Unicode version

Theorem hashpw 12201
Description: The size of the power set of a finite set is 2 raised to the power of the size of the set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashpw  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A
) ) )

Proof of Theorem hashpw
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 3866 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ~P x  =  ~P A
)
21fveq2d 5698 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( # `  ~P A ) )
3 fveq2 5694 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
43oveq2d 6110 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
2 ^ ( # `  x ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 A ) ) )
52, 4eqeq12d 2457 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  ~P x
)  =  ( 2 ^ ( # `  x
) )  <->  ( # `  ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A ) ) ) )
6 vex 2978 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
76pw2en 7421 . . . 4  |-  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
)
8 pwfi 7609 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Fin  <->  ~P x  e.  Fin )
98biimpi 194 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  ->  ~P x  e.  Fin )
10 df2o2 6937 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
11 prfi 7589 . . . . . . 7  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  Fin
1210, 11eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  2o  e.  Fin
13 mapfi 7610 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  x  e.  Fin )  ->  ( 2o  ^m  x
)  e.  Fin )
1412, 13mpan 670 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( 2o  ^m  x )  e. 
Fin )
15 hashen 12121 . . . . 5  |-  ( ( ~P x  e.  Fin  /\  ( 2o  ^m  x
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ~P x )  =  (
# `  ( 2o  ^m  x ) )  <->  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
) ) )
169, 14, 15syl2anc 661 . . . 4  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( # `  ~P x
)  =  ( # `  ( 2o  ^m  x
) )  <->  ~P x  ~~  ( 2o  ^m  x
) ) )
177, 16mpbiri 233 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( # `  ( 2o  ^m  x ) ) )
18 hashmap 12200 . . . . 5  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  x  e.  Fin )  ->  ( # `  ( 2o  ^m  x ) )  =  ( ( # `  2o ) ^ ( # `
 x ) ) )
1912, 18mpan 670 . . . 4  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 2o  ^m  x ) )  =  ( ( # `  2o ) ^ ( # `  x
) ) )
20 hash2 12166 . . . . 5  |-  ( # `  2o )  =  2
2120oveq1i 6104 . . . 4  |-  ( (
# `  2o ) ^ ( # `  x
) )  =  ( 2 ^ ( # `  x ) )
2219, 21syl6eq 2491 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 2o  ^m  x ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 x ) ) )
2317, 22eqtrd 2475 . 2  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P x )  =  ( 2 ^ ( # `  x
) ) )
245, 23vtoclga 3039 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ~P A )  =  ( 2 ^ ( # `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3640   ~Pcpw 3863   {csn 3880   {cpr 3882   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   2oc2o 6917    ^m cmap 7217    ~~ cen 7310   Fincfn 7313   2c2 10374   ^cexp 11868   #chash 12106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-fz 11441  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107
This theorem is referenced by:  ackbijnn  13294
  Copyright terms: Public domain W3C validator