Theorem prfi 8120

Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4128	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfi 7923	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
3		snfi 7923	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4		unfi 8112	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 704	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2684	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538  {csn 4125  {cpr 4127  Fincfn 7841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845

This theorem is referenced by:  tpfi  8121  fiint  8122  inelfi  8207  tskpr  9471  hashpw  13083  hashfun  13084  pr2pwpr  13116  hashtpg  13121  sumpr  14321  lcmfpr  15178  isprm2lem  15232  prmreclem2  15459  acsfn2  16147  isdrs2  16762  symg2hash  17640  psgnprfval  17764  znidomb  19729  m2detleib  20256  ovolioo  23143  i1f1  23263  itgioo  23388  limcun  23465  aannenlem2  23888  wilthlem2  24595  perfectlem2  24755  upgrex  25759  umgraex  25852  konigsberg  26514  ex-hash  26702  inelpisys  29544  coinfliplem  29867  coinflippv  29872  subfacp1lem1  30415  poimirlem9  32588  kelac2lem  36652  sumpair  38217  refsum2cnlem1  38219  ibliooicc  38863  fourierdlem50  39049  fourierdlem51  39050  fourierdlem54  39053  fourierdlem70  39069  fourierdlem71  39070  fourierdlem76  39075  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem114  39113  saluncl  39213  sge0pr  39287  meadjun  39355  omeunle  39406  perfectALTVlem2  40165  zlmodzxzel  41926  gsumpr  41932  ldepspr  42056  zlmodzxzldeplem2  42084