MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prfi Structured version   Unicode version

Theorem prfi 7687
Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
prfi  |-  { A ,  B }  e.  Fin

Proof of Theorem prfi
StepHypRef Expression
1 df-pr 3978 . 2  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
2 snfi 7490 . . 3  |-  { A }  e.  Fin
3 snfi 7490 . . 3  |-  { B }  e.  Fin
4 unfi 7680 . . 3  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { B }  e.  Fin )  ->  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 672 . 2  |-  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin
61, 5eqeltri 2535 1  |-  { A ,  B }  e.  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758    u. cun 3424   {csn 3975   {cpr 3977   Fincfn 7410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-en 7411  df-fin 7414
This theorem is referenced by:  tpfi  7688  fiint  7689  inelfi  7769  tskpr  9038  pr2pwpr  12285  hashtpg  12288  hashpw  12300  hashfun  12301  isprm2lem  13872  prmreclem2  14080  acsfn2  14703  isdrs2  15211  symg2hash  16004  psgnprfval  16129  znidomb  18103  m2detleib  18553  ovolioo  21165  i1f1  21284  itgioo  21409  limcun  21486  aannenlem2  21911  wilthlem2  22523  perfectlem2  22685  umgraex  23392  konigsberg  23743  sumpr  26376  coinfliplem  26995  coinflippv  27000  subfacp1lem1  27201  kelac2lem  29555  sumpair  29895  refsum2cnlem1  29897  zlmodzxzel  30890  gsumpr  30896  ldepspr  31114  zlmodzxzldeplem2  31150
  Copyright terms: Public domain W3C validator