MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prfi Structured version   Unicode version

Theorem prfi 7787
Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
prfi  |-  { A ,  B }  e.  Fin

Proof of Theorem prfi
StepHypRef Expression
1 df-pr 4019 . 2  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
2 snfi 7589 . . 3  |-  { A }  e.  Fin
3 snfi 7589 . . 3  |-  { B }  e.  Fin
4 unfi 7779 . . 3  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { B }  e.  Fin )  ->  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 670 . 2  |-  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin
61, 5eqeltri 2538 1  |-  { A ,  B }  e.  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1823    u. cun 3459   {csn 4016   {cpr 4018   Fincfn 7509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513
This theorem is referenced by:  tpfi  7788  fiint  7789  inelfi  7870  tskpr  9137  hashpw  12478  hashfun  12479  pr2pwpr  12504  hashtpg  12507  isprm2lem  14308  prmreclem2  14519  acsfn2  15152  isdrs2  15767  symg2hash  16621  psgnprfval  16745  znidomb  18773  m2detleib  19300  ovolioo  22144  i1f1  22263  itgioo  22388  limcun  22465  aannenlem2  22891  wilthlem2  23541  perfectlem2  23703  umgraex  24525  konigsberg  25189  sumpr  28003  coinfliplem  28681  coinflippv  28686  subfacp1lem1  28887  kelac2lem  31249  sumpair  31650  refsum2cnlem1  31652  ibliooicc  32009  fourierdlem50  32178  fourierdlem51  32179  fourierdlem54  32182  fourierdlem70  32198  fourierdlem71  32199  fourierdlem76  32204  fourierdlem102  32230  fourierdlem103  32231  fourierdlem104  32232  fourierdlem114  32242  zlmodzxzel  33198  gsumpr  33204  ldepspr  33328  zlmodzxzldeplem2  33356
  Copyright terms: Public domain W3C validator