MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prfi Structured version   Unicode version

Theorem prfi 7574
Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
prfi  |-  { A ,  B }  e.  Fin

Proof of Theorem prfi
StepHypRef Expression
1 df-pr 3868 . 2  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
2 snfi 7378 . . 3  |-  { A }  e.  Fin
3 snfi 7378 . . 3  |-  { B }  e.  Fin
4 unfi 7567 . . 3  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { B }  e.  Fin )  ->  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 665 . 2  |-  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin
61, 5eqeltri 2503 1  |-  { A ,  B }  e.  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1755    u. cun 3314   {csn 3865   {cpr 3867   Fincfn 7298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-fin 7302
This theorem is referenced by:  tpfi  7575  fiint  7576  inelfi  7656  tskpr  8925  pr2pwpr  12167  hashtpg  12170  hashpw  12182  hashfun  12183  isprm2lem  13753  prmreclem2  13961  acsfn2  14584  isdrs2  15092  symg2hash  15882  psgnprfval  16005  znidomb  17836  m2detleib  18279  ovolioo  20891  i1f1  21010  itgioo  21135  limcun  21212  aannenlem2  21680  wilthlem2  22292  perfectlem2  22454  umgraex  23080  konigsberg  23431  sumpr  26091  coinfliplem  26709  coinflippv  26714  subfacp1lem1  26915  kelac2lem  29262  sumpair  29602  refsum2cnlem1  29604  zlmodzxzel  30586  gsumpr  30592  ldepspr  30716  zlmodzxzldeplem2  30752
  Copyright terms: Public domain W3C validator