MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prfi Structured version   Unicode version

Theorem prfi 7578
Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
prfi  |-  { A ,  B }  e.  Fin

Proof of Theorem prfi
StepHypRef Expression
1 df-pr 3875 . 2  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
2 snfi 7382 . . 3  |-  { A }  e.  Fin
3 snfi 7382 . . 3  |-  { B }  e.  Fin
4 unfi 7571 . . 3  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { B }  e.  Fin )  ->  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 672 . 2  |-  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin
61, 5eqeltri 2508 1  |-  { A ,  B }  e.  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756    u. cun 3321   {csn 3872   {cpr 3874   Fincfn 7302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-fin 7306
This theorem is referenced by:  tpfi  7579  fiint  7580  inelfi  7660  tskpr  8929  pr2pwpr  12175  hashtpg  12178  hashpw  12190  hashfun  12191  isprm2lem  13762  prmreclem2  13970  acsfn2  14593  isdrs2  15101  symg2hash  15893  psgnprfval  16016  znidomb  17974  m2detleib  18417  ovolioo  21029  i1f1  21148  itgioo  21273  limcun  21350  aannenlem2  21775  wilthlem2  22387  perfectlem2  22549  umgraex  23225  konigsberg  23576  sumpr  26210  coinfliplem  26830  coinflippv  26835  subfacp1lem1  27036  kelac2lem  29388  sumpair  29728  refsum2cnlem1  29730  zlmodzxzel  30721  gsumpr  30727  ldepspr  30938  zlmodzxzldeplem2  30974
  Copyright terms: Public domain W3C validator