Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcun 23465
 Description: A point is a limit of 𝐹 on 𝐴 ∪ 𝐵 iff it is the limit of the restriction of 𝐹 to 𝐴 and to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcun.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcun.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
limcun.3 (𝜑𝐹:(𝐴𝐵)⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
limcun (𝜑 → (𝐹 lim 𝐶) = (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))

Proof of Theorem limcun
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 23444 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
21simp3d 1068 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ))
4 inss1 3795 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) ⊆ ((𝐹𝐴) lim 𝐶)
54sseli 3564 . . . . 5 (𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶))
6 limcrcl 23444 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
76simp3d 1068 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ))
10 prfi 8120 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
1110a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
12 limcun.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
14 limcun.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
16 cnex 9896 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
1716ssex 4730 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ∈ V)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ V)
1916ssex 4730 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐵 ∈ V)
2015, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ V)
21 sseq1 3589 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐴 ⊆ ℂ))
22 sseq1 3589 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐵 ⊆ ℂ))
2321, 22ralprg 4181 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
2418, 20, 23syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
2513, 15, 24mpbir2and 959 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ)
26 limcun.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝐴𝐵)⟶ℂ)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹:(𝐴𝐵)⟶ℂ)
28 uniiun 4509 . . . . . . . . . 10 {𝐴, 𝐵} = 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦
29 uniprg 4386 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
3018, 20, 29syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
3128, 30syl5eqr 2658 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 = (𝐴𝐵))
3231feq2d 5944 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹: 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ ↔ 𝐹:(𝐴𝐵)⟶ℂ))
3327, 32mpbird 246 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹: 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ)
34 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
3511, 25, 33, 34limciun 23464 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹 lim 𝐶) = (ℂ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹𝑦) lim 𝐶)))
3635eleq2d 2673 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (ℂ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹𝑦) lim 𝐶))))
37 reseq2 5312 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
3837oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹𝑦) lim 𝐶) = ((𝐹𝐴) lim 𝐶))
3938eleq2d 2673 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶)))
40 reseq2 5312 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
4140oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹𝑦) lim 𝐶) = ((𝐹𝐵) lim 𝐶))
4241eleq2d 2673 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))
4339, 42ralprg 4181 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
4418, 20, 43syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
4544anbi2d 736 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))))
46 limccl 23445 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ⊆ ℂ
4746sseli 3564 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
4847adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4948pm4.71ri 663 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
5045, 49syl6bbr 277 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
51 elriin 4529 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℂ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹𝑦) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶)))
52 elin 3758 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))
5350, 51, 523bitr4g 302 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (ℂ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹𝑦) lim 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
5436, 53bitrd 267 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
5554ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))))
563, 9, 55pm5.21ndd 368 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
5756eqrdv 2608 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐶) = (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455  ∩ ciin 4456  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813   limℂ climc 23432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cnp 20842  df-xms 21935  df-ms 21936  df-limc 23436 This theorem is referenced by:  lhop  23583
 Copyright terms: Public domain W3C validator