Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcun Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem limcun 22850
 Description: A point is a limit of on iff it is the limit of the restriction of to and to . (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcun.1
limcun.2
limcun.3
Assertion
Ref Expression
limcun lim lim lim

Proof of Theorem limcun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 22829 . . . . 5 lim
21simp3d 1022 . . . 4 lim
32a1i 11 . . 3 lim
4 inss1 3652 . . . . . 6 lim lim lim
54sseli 3428 . . . . 5 lim lim lim
6 limcrcl 22829 . . . . . 6 lim
76simp3d 1022 . . . . 5 lim
85, 7syl 17 . . . 4 lim lim
98a1i 11 . . 3 lim lim
10 prfi 7846 . . . . . . . 8
1110a1i 11 . . . . . . 7
12 limcun.1 . . . . . . . . 9
1312adantr 467 . . . . . . . 8
14 limcun.2 . . . . . . . . 9
1514adantr 467 . . . . . . . 8
16 cnex 9620 . . . . . . . . . . 11
1716ssex 4547 . . . . . . . . . 10
1813, 17syl 17 . . . . . . . . 9
1916ssex 4547 . . . . . . . . . 10
2015, 19syl 17 . . . . . . . . 9
21 sseq1 3453 . . . . . . . . . 10
22 sseq1 3453 . . . . . . . . . 10
2321, 22ralprg 4021 . . . . . . . . 9
2418, 20, 23syl2anc 667 . . . . . . . 8
2513, 15, 24mpbir2and 933 . . . . . . 7
26 limcun.3 . . . . . . . . 9
2726adantr 467 . . . . . . . 8
28 uniiun 4331 . . . . . . . . . 10
29 uniprg 4212 . . . . . . . . . . 11
3018, 20, 29syl2anc 667 . . . . . . . . . 10
3128, 30syl5eqr 2499 . . . . . . . . 9
3231feq2d 5715 . . . . . . . 8
3327, 32mpbird 236 . . . . . . 7
34 simpr 463 . . . . . . 7
3511, 25, 33, 34limciun 22849 . . . . . 6 lim lim
3635eleq2d 2514 . . . . 5 lim lim
37 reseq2 5100 . . . . . . . . . . . 12
3837oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11 lim lim
3938eleq2d 2514 . . . . . . . . . 10 lim lim
40 reseq2 5100 . . . . . . . . . . . 12
4140oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11 lim lim
4241eleq2d 2514 . . . . . . . . . 10 lim lim
4339, 42ralprg 4021 . . . . . . . . 9 lim lim lim
4418, 20, 43syl2anc 667 . . . . . . . 8 lim lim lim
4544anbi2d 710 . . . . . . 7 lim lim lim
46 limccl 22830 . . . . . . . . . 10 lim
4746sseli 3428 . . . . . . . . 9 lim
4847adantr 467 . . . . . . . 8 lim lim
4948pm4.71ri 639 . . . . . . 7 lim lim lim lim
5045, 49syl6bbr 267 . . . . . 6 lim lim lim
51 elriin 4351 . . . . . 6 lim lim
52 elin 3617 . . . . . 6 lim lim lim lim
5350, 51, 523bitr4g 292 . . . . 5 lim lim lim
5436, 53bitrd 257 . . . 4 lim lim lim
5554ex 436 . . 3 lim lim lim
563, 9, 55pm5.21ndd 356 . 2 lim lim lim
5756eqrdv 2449 1 lim lim lim
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  cvv 3045   cun 3402   cin 3403   wss 3404  cpr 3970  cuni 4198  ciun 4278  ciin 4279   cdm 4834   cres 4836  wf 5578  (class class class)co 6290  cfn 7569  cc 9537   lim climc 22817 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-topn 15322  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cnp 20244  df-xms 21335  df-ms 21336  df-limc 22821 This theorem is referenced by:  lhop  22968
 Copyright terms: Public domain W3C validator