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Theorem limcun 22425
Description: A point is a limit of  F on  A  u.  B iff it is the limit of the restriction of  F to  A and to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcun.1  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcun.2  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
limcun.3  |-  ( ph  ->  F : ( A  u.  B ) --> CC )
Assertion
Ref Expression
limcun  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )

Proof of Theorem limcun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 22404 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
21simp3d 1010 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  C  e.  CC )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  C  e.  CC ) )
4 inss1 3714 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  C_  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )
54sseli 3495 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  ->  x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C ) )
6 limcrcl 22404 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
76simp3d 1010 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  C  e.  CC )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  ->  C  e.  CC )
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) )  ->  C  e.  CC ) )
10 prfi 7813 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  e.  Fin
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
12 limcun.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  C_  CC )
14 limcun.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
1514adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  C_  CC )
16 cnex 9590 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
1716ssex 4600 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  CC  ->  A  e. 
_V )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  e. 
_V )
1916ssex 4600 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  CC  ->  B  e. 
_V )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e. 
_V )
21 sseq1 3520 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  CC  <->  A  C_  CC ) )
22 sseq1 3520 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
y  C_  CC  <->  B  C_  CC ) )
2321, 22ralprg 4081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. y  e. 
{ A ,  B } y  C_  CC  <->  ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC ) ) )
2418, 20, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  { A ,  B } y  C_  CC 
<->  ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )
) )
2513, 15, 24mpbir2and 922 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. y  e.  { A ,  B } y  C_  CC )
26 limcun.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( A  u.  B ) --> CC )
2726adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  F :
( A  u.  B
) --> CC )
28 uniiun 4385 . . . . . . . . . 10  |-  U. { A ,  B }  =  U_ y  e.  { A ,  B }
y
29 uniprg 4265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B )
)
3018, 20, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B ) )
3128, 30syl5eqr 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  U_ y  e.  { A ,  B } y  =  ( A  u.  B ) )
3231feq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( F : U_ y  e. 
{ A ,  B } y --> CC  <->  F :
( A  u.  B
) --> CC ) )
3327, 32mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  F : U_ y  e.  { A ,  B } y --> CC )
34 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
3511, 25, 33, 34limciun 22424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( F lim
CC  C )  =  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) ) )
3635eleq2d 2527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <->  x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C
) ) ) )
37 reseq2 5278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  A ) )
3837oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
) )
3938eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C ) ) )
40 reseq2 5278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  B ) )
4140oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) )
4241eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
4339, 42ralprg 4081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. y  e. 
{ A ,  B } x  e.  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  <->  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
4418, 20, 43syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <-> 
( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
4544anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) ) )
46 limccl 22405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  C_  CC
4746sseli 3495 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  x  e.  CC )
4847adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  ->  x  e.  CC )
4948pm4.71ri 633 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5045, 49syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim
CC  C ) ) ) )
51 elriin 4405 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  (
( F  |`  y
) lim CC  C )
) )
52 elin 3683 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  <-> 
( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
5350, 51, 523bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5436, 53bitrd 253 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5554ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <-> 
x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) ) )
563, 9, 55pm5.21ndd 354 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <-> 
x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5756eqrdv 2454 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   {cpr 4034   U.cuni 4251   U_ciun 4332   |^|_ciin 4333   dom cdm 5008    |` cres 5010   -->wf 5590  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   lim CC climc 22392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-rest 14840  df-topn 14841  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cnp 19856  df-xms 20949  df-ms 20950  df-limc 22396
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