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Theorem limcun 22062
Description: A point is a limit of  F on  A  u.  B iff it is the limit of the restriction of  F to  A and to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcun.1  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcun.2  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
limcun.3  |-  ( ph  ->  F : ( A  u.  B ) --> CC )
Assertion
Ref Expression
limcun  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )

Proof of Theorem limcun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 22041 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
21simp3d 1010 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  C  e.  CC )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  C  e.  CC ) )
4 inss1 3718 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  C_  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )
54sseli 3500 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  ->  x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C ) )
6 limcrcl 22041 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
76simp3d 1010 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  C  e.  CC )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  ->  C  e.  CC )
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) )  ->  C  e.  CC ) )
10 prfi 7795 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  e.  Fin
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
12 limcun.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  C_  CC )
14 limcun.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
1514adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  C_  CC )
16 cnex 9573 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
1716ssex 4591 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  CC  ->  A  e. 
_V )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  e. 
_V )
1916ssex 4591 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  CC  ->  B  e. 
_V )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e. 
_V )
21 sseq1 3525 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  CC  <->  A  C_  CC ) )
22 sseq1 3525 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
y  C_  CC  <->  B  C_  CC ) )
2321, 22ralprg 4076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. y  e. 
{ A ,  B } y  C_  CC  <->  ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC ) ) )
2418, 20, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  { A ,  B } y  C_  CC 
<->  ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )
) )
2513, 15, 24mpbir2and 920 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. y  e.  { A ,  B } y  C_  CC )
26 limcun.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( A  u.  B ) --> CC )
2726adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  F :
( A  u.  B
) --> CC )
28 uniiun 4378 . . . . . . . . . 10  |-  U. { A ,  B }  =  U_ y  e.  { A ,  B }
y
29 uniprg 4259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B )
)
3018, 20, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B ) )
3128, 30syl5eqr 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  U_ y  e.  { A ,  B } y  =  ( A  u.  B ) )
3231feq2d 5718 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( F : U_ y  e. 
{ A ,  B } y --> CC  <->  F :
( A  u.  B
) --> CC ) )
3327, 32mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  F : U_ y  e.  { A ,  B } y --> CC )
34 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
3511, 25, 33, 34limciun 22061 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( F lim
CC  C )  =  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) ) )
3635eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <->  x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C
) ) ) )
37 reseq2 5268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  A ) )
3837oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
) )
3938eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C ) ) )
40 reseq2 5268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  B ) )
4140oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) )
4241eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
4339, 42ralprg 4076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. y  e. 
{ A ,  B } x  e.  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  <->  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
4418, 20, 43syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <-> 
( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
4544anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) ) )
46 limccl 22042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  C_  CC
4746sseli 3500 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  x  e.  CC )
4847adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  ->  x  e.  CC )
4948pm4.71ri 633 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5045, 49syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim
CC  C ) ) ) )
51 elriin 4398 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  (
( F  |`  y
) lim CC  C )
) )
52 elin 3687 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  <-> 
( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
5350, 51, 523bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5436, 53bitrd 253 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5554ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <-> 
x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) ) )
563, 9, 55pm5.21ndd 354 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <-> 
x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5756eqrdv 2464 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   {cpr 4029   U.cuni 4245   U_ciun 4325   |^|_ciin 4326   dom cdm 4999    |` cres 5001   -->wf 5584  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   CCcc 9490   lim CC climc 22029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-rest 14678  df-topn 14679  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cnp 19523  df-xms 20586  df-ms 20587  df-limc 22033
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