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Theorem limcun 21392
Description: A point is a limit of  F on  A  u.  B iff it is the limit of the restriction of  F to  A and to  B. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcun.1  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcun.2  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
limcun.3  |-  ( ph  ->  F : ( A  u.  B ) --> CC )
Assertion
Ref Expression
limcun  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )

Proof of Theorem limcun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 21371 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
21simp3d 1002 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  C  e.  CC )
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  ->  C  e.  CC ) )
4 inss1 3591 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  C_  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )
54sseli 3373 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  ->  x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C ) )
6 limcrcl 21371 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
76simp3d 1002 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  C  e.  CC )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  ->  C  e.  CC )
98a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) )  ->  C  e.  CC ) )
10 prfi 7607 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  e.  Fin
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
12 limcun.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  C_  CC )
14 limcun.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
1514adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  C_  CC )
16 cnex 9384 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
1716ssex 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  CC  ->  A  e. 
_V )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  e. 
_V )
1916ssex 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  CC  ->  B  e. 
_V )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e. 
_V )
21 sseq1 3398 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  CC  <->  A  C_  CC ) )
22 sseq1 3398 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
y  C_  CC  <->  B  C_  CC ) )
2321, 22ralprg 3946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. y  e. 
{ A ,  B } y  C_  CC  <->  ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC ) ) )
2418, 20, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  { A ,  B } y  C_  CC 
<->  ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )
) )
2513, 15, 24mpbir2and 913 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. y  e.  { A ,  B } y  C_  CC )
26 limcun.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( A  u.  B ) --> CC )
2726adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  F :
( A  u.  B
) --> CC )
28 uniiun 4244 . . . . . . . . . 10  |-  U. { A ,  B }  =  U_ y  e.  { A ,  B }
y
29 uniprg 4126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B )
)
3018, 20, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B ) )
3128, 30syl5eqr 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  U_ y  e.  { A ,  B } y  =  ( A  u.  B ) )
3231feq2d 5568 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( F : U_ y  e. 
{ A ,  B } y --> CC  <->  F :
( A  u.  B
) --> CC ) )
3327, 32mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  F : U_ y  e.  { A ,  B } y --> CC )
34 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
3511, 25, 33, 34limciun 21391 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( F lim
CC  C )  =  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) ) )
3635eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <->  x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C
) ) ) )
37 reseq2 5126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  A ) )
3837oveq1d 6127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
) )
3938eleq2d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C ) ) )
40 reseq2 5126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  ( F  |`  y )  =  ( F  |`  B ) )
4140oveq1d 6127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) )
4241eleq2d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
4339, 42ralprg 3946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. y  e. 
{ A ,  B } x  e.  (
( F  |`  y
) lim CC  C )  <->  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
4418, 20, 43syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C )  <-> 
( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
4544anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) ) )
46 limccl 21372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  C_  CC
4746sseli 3373 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  ->  x  e.  CC )
4847adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  ->  x  e.  CC )
4948pm4.71ri 633 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5045, 49syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim
CC  C ) ) ) )
51 elriin 4264 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. y  e.  { A ,  B } x  e.  (
( F  |`  y
) lim CC  C )
) )
52 elin 3560 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C )  i^i  (
( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  <-> 
( x  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  /\  x  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
5350, 51, 523bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( CC  i^i  |^|_ y  e.  { A ,  B }  ( ( F  |`  y ) lim CC  C ) )  <->  x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5436, 53bitrd 253 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <->  x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim CC  C
)  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5554ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <-> 
x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) ) )
563, 9, 55pm5.21ndd 354 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  C )  <-> 
x  e.  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) ) )
5756eqrdv 2441 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( ( ( F  |`  A ) lim
CC  C )  i^i  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349   {cpr 3900   U.cuni 4112   U_ciun 4192   |^|_ciin 4193   dom cdm 4861    |` cres 4863   -->wf 5435  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   CCcc 9301   lim CC climc 21359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fi 7682  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-fz 11459  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-rest 14382  df-topn 14383  df-topgen 14403  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cnp 18854  df-xms 19917  df-ms 19918  df-limc 21363
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