Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omeunle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeunle 39406
 Description: The outer measure of the union of two sets is less or equal to the sum of the measures, Remark 113B (c) of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeunle.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omeunle.x 𝑋 = dom 𝑂
omeunle.a (𝜑𝐴𝑋)
omeunle.b (𝜑𝐵𝑋)
Assertion
Ref Expression
omeunle (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))

Proof of Theorem omeunle
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeunle.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
2 omeunle.o . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
3 omeunle.x . . . . . . 7 𝑋 = dom 𝑂
42, 3unidmex 38242 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ V)
5 ssexg 4732 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
61, 4, 5syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
7 omeunle.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑋)
8 ssexg 4732 . . . . . 6 ((𝐵𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
97, 4, 8syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
10 uniprg 4386 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
116, 9, 10syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
1211eqcomd 2616 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = {𝐴, 𝐵})
1312fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐵)) = (𝑂 {𝐴, 𝐵}))
14 iccssxr 12127 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
151, 7unssd 3751 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑋)
1611, 15eqsstrd 3602 . . . . 5 (𝜑 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑋)
172, 3, 16omecl 39393 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ∈ (0[,]+∞))
1814, 17sseldi 3566 . . 3 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ*)
19 prfi 8120 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
2019elexi 3186 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
222, 3omef 39386 . . . . 5 (𝜑𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
23 elpwg 4116 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
246, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
251, 24mpbird 246 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
26 elpwg 4116 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵𝑋))
279, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵𝑋))
287, 27mpbird 246 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
2925, 28jca 553 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ∈ 𝒫 𝑋))
30 prssg 4290 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
316, 9, 30syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
3229, 31mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋)
3322, 32fssresd 5984 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
3421, 33sge0xrcl 39278 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ∈ ℝ*)
352, 3, 1omecl 39393 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (0[,]+∞))
3614, 35sseldi 3566 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ*)
372, 3, 7omecl 39393 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (0[,]+∞))
3814, 37sseldi 3566 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ*)
3936, 38xaddcld 12003 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)) ∈ ℝ*)
40 isfinite 8432 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
4140biimpi 205 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
42 sdomdom 7869 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
4341, 42syl 17 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
4419, 43ax-mp 5 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ≼ ω
4544a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
462, 3, 32, 45omeunile 39395 . . 3 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})))
4722, 32feqresmpt 6160 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂𝑘)))
4847fveq2d 6107 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂𝑘))))
49 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑘 = 𝐴 → (𝑂𝑘) = (𝑂𝐴))
50 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑘 = 𝐵 → (𝑂𝑘) = (𝑂𝐵))
516, 9, 35, 37, 49, 50sge0prle 39294 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂𝑘))) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
5248, 51eqbrtrd 4605 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
5318, 34, 39, 46, 52xrletrd 11869 . 2 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
5413, 53eqbrtrd 4605 1 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {cpr 4127  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  Fincfn 7841  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   +𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049  Σ^csumge0 39255  OutMeascome 39379 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-sumge0 39256  df-ome 39380 This theorem is referenced by:  omelesplit  39408
 Copyright terms: Public domain W3C validator