Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsum2cnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem refsum2cnlem1 38219
 Description: This is the core Lemma for refsum2cn 38220: the sum of two continuous real functions (from a common topological space) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsum2cnlem1.1 𝑥𝐴
refsum2cnlem1.2 𝑥𝐹
refsum2cnlem1.3 𝑥𝐺
refsum2cnlem1.4 𝑥𝜑
refsum2cnlem1.5 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
refsum2cnlem1.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
refsum2cnlem1.7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
refsum2cnlem1.8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
refsum2cnlem1.9 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
refsum2cnlem1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐽   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem refsum2cnlem1
StepHypRef Expression
1 refsum2cnlem1.4 . . 3 𝑥𝜑
2 refsum2cnlem1.5 . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
3 nfmpt1 4675 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑘 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
42, 3nfcxfr 2749 . . . . . . . 8 𝑘𝐴
5 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑘1
64, 5nffv 6110 . . . . . . 7 𝑘(𝐴‘1)
7 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑘𝑥
86, 7nffv 6110 . . . . . 6 𝑘((𝐴‘1)‘𝑥)
98a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑘((𝐴‘1)‘𝑥))
10 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑘2
114, 10nffv 6110 . . . . . . 7 𝑘(𝐴‘2)
1211, 7nffv 6110 . . . . . 6 𝑘((𝐴‘2)‘𝑥)
1312a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑘((𝐴‘2)‘𝑥))
14 1cnd 9935 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ∈ ℂ)
15 2cnd 10970 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 2 ∈ ℂ)
16 1ex 9914 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
1716prid1 4241 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {1, 2}
18 refsum2cnlem1.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19 refsum2cnlem1.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2018, 19ifcld 4081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑘 = 1 ↔ 1 = 1))
2221ifbid 4058 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
2322, 2fvmptg 6189 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ {1, 2} ∧ if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
2417, 20, 23sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴‘1) = if(1 = 1, 𝐹, 𝐺))
25 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 1 = 1
2625iftruei 4043 . . . . . . . . 9 if(1 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹
2724, 26syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴‘1) = 𝐹)
2827adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴‘1) = 𝐹)
2928fveq1d 6105 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
30 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
31 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = 𝐾
3230, 31cnf 20860 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
3318, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹: 𝐽 𝐾)
34 refsum2cnlem1.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
35 toponuni 20542 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = 𝐽)
3736eqcomd 2616 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝐽 = 𝑋)
38 refsum2cnlem1.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3938unieqi 4381 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGen‘ran (,))
40 uniretop 22376 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = (topGen‘ran (,))
4139, 40eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝐾 = ℝ)
4337, 42feq23d 5953 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹: 𝐽 𝐾𝐹:𝑋⟶ℝ))
4433, 43mpbid 221 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
4544anim1i 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋))
46 ffvelrn 6265 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
47 recn 9905 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4845, 46, 473syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4929, 48eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘1)‘𝑥) ∈ ℂ)
50 2ex 10969 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
5150prid2 4242 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {1, 2}
5218, 19ifcld 4081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
53 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (𝑘 = 1 ↔ 2 = 1))
5453ifbid 4058 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
5554, 2fvmptg 6189 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ {1, 2} ∧ if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
5651, 52, 55sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴‘2) = if(2 = 1, 𝐹, 𝐺))
57 1ne2 11117 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 2
5857nesymi 2839 . . . . . . . . . 10 ¬ 2 = 1
5958iffalsei 4046 . . . . . . . . 9 if(2 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺
6056, 59syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴‘2) = 𝐺)
6160adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴‘2) = 𝐺)
6261fveq1d 6105 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
6330, 31cnf 20860 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐺: 𝐽 𝐾)
6419, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺: 𝐽 𝐾)
6537, 42feq23d 5953 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺: 𝐽 𝐾𝐺:𝑋⟶ℝ))
6664, 65mpbid 221 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
6766anim1i 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋))
68 ffvelrn 6265 . . . . . . 7 ((𝐺:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
69 recn 9905 . . . . . . 7 ((𝐺𝑥) ∈ ℝ → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
7067, 68, 693syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
7162, 70eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴‘2)‘𝑥) ∈ ℂ)
7257a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ≠ 2)
73 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘1))
7473fveq1d 6105 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
7574adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘1)‘𝑥))
76 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘2))
7776fveq1d 6105 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
7877adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐴‘2)‘𝑥))
799, 13, 14, 15, 49, 71, 72, 75, 78sumpair 38217 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)))
8029, 62oveq12d 6567 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐴‘1)‘𝑥) + ((𝐴‘2)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
8179, 80eqtrd 2644 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)))
821, 81mpteq2da 4671 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
83 prfi 8120 . . . 4 {1, 2} ∈ Fin
8483a1i 11 . . 3 (𝜑 → {1, 2} ∈ Fin)
85 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 𝑋 = 𝑋
8685ax-gen 1713 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑋 = 𝑋
87 refsum2cnlem1.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴
88 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑘
8987, 88nffv 6110 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐴𝑘)
90 refsum2cnlem1.2 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐹
9189, 90nfeq 2762 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐴𝑘) = 𝐹
92 fveq1 6102 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
9392a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → (𝑥𝑋 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥)))
9491, 93ralrimi 2940 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
95 mpteq12f 4661 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐹𝑥)) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
9686, 94, 95sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑘) = 𝐹 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
9796adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
98 retopon 22377 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
9938, 98eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
10099a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
101 cnf2 20863 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
10234, 100, 18, 101syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
103 ffn 5958 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
10590dffn5f 6162 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑋𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
106104, 105sylib 207 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
107106adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
10897, 107eqtr4d 2647 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = 𝐹)
10918adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
110108, 109eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
111110adantlr 747 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴𝑘) = 𝐹) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
112 refsum2cnlem1.3 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐺
11389, 112nfeq 2762 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐴𝑘) = 𝐺
114 fveq1 6102 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
115114a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → (𝑥𝑋 → ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥)))
116113, 115ralrimi 2940 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
117 mpteq12f 4661 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝐴𝑘)‘𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
11886, 116, 117sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑘) = 𝐺 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
119118adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
120 cnf2 20863 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐺:𝑋⟶ℝ)
12134, 100, 19, 120syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
122 ffn 5958 . . . . . . . . . 10 (𝐺:𝑋⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝑋)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
124112dffn5f 6162 . . . . . . . . 9 (𝐺 Fn 𝑋𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
125123, 124sylib 207 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
126125adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → 𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
127119, 126eqtr4d 2647 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) = 𝐺)
12819adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
129127, 128eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
130129adantlr 747 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ (𝐴𝑘) = 𝐺) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
131 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → 𝑘 ∈ {1, 2})
13218, 19ifcld 4081 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
133132adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
1342fvmpt2 6200 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ {1, 2} ∧ if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐴𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
135131, 133, 134syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝐴𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
136 iftrue 4042 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐹)
137135, 136sylan9eq 2664 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → (𝐴𝑘) = 𝐹)
138137orcd 406 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝐴𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴𝑘) = 𝐺))
139135adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴𝑘) = if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺))
140 neeq2 2845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (1 ≠ 𝑘 ↔ 1 ≠ 2))
14157, 140mpbiri 247 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → 1 ≠ 𝑘)
142141necomd 2837 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → 𝑘 ≠ 1)
143142neneqd 2787 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → ¬ 𝑘 = 1)
144143adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ¬ 𝑘 = 1)
145144iffalsed 4047 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → if(𝑘 = 1, 𝐹, 𝐺) = 𝐺)
146139, 145eqtrd 2644 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴𝑘) = 𝐺)
147146olcd 407 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝐴𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴𝑘) = 𝐺))
148 elpri 4145 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {1, 2} → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
149148adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
150138, 147, 149mpjaodan 823 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → ((𝐴𝑘) = 𝐹 ∨ (𝐴𝑘) = 𝐺))
151111, 130, 150mpjaodan 823 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
1521, 38, 34, 84, 151refsumcn 38212 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ((𝐴𝑘)‘𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
15382, 152eqeltrrd 2689 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383  ∀wal 1473   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ifcif 4036  {cpr 4127  ∪ cuni 4372   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947  (,)cioo 12046  Σcsu 14264  topGenctg 15921  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937 This theorem is referenced by:  refsum2cn  38220
 Copyright terms: Public domain W3C validator