MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem retopon 22377
Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
retopon (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon
StepHypRef Expression
1 retop 22375 . 2 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2 uniretop 22376 . . 3 ℝ = (topGen‘ran (,))
32toptopon 20548 . 2 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
41, 3mpbi 219 1 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1977  ran crn 5039  cfv 5804  cr 9814  (,)cioo 12046  topGenctg 15921  Topctop 20517  TopOnctopon 20518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ioo 12050  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523
This theorem is referenced by:  xrtgioo  22417  reconnlem1  22437  reconn  22439  cnmpt2pc  22535  cnrehmeo  22560  bndth  22565  evth2  22567  htpycc  22587  pcocn  22625  pcohtpylem  22627  pcopt  22630  pcopt2  22631  pcoass  22632  pcorevlem  22634  circcn  29233  tpr2tp  29278  sxbrsiga  29679  cvmliftlem8  30528  knoppcnlem10  31662  knoppcnlem11  31663  poimir  32612  broucube  32613  cnambfre  32628  reheibor  32808  rfcnpre1  38201  fcnre  38207  refsumcn  38212  refsum2cnlem1  38219  climreeq  38680  islptre  38686  icccncfext  38773  stoweidlem47  38940  dirkercncflem4  38999  dirkercncf  39000  fourierdlem62  39061
  Copyright terms: Public domain W3C validator