Theorem uniretop 22376

Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniretop	⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnioo 12144	. 2 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
2		retopbas 22374	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
3		unitg 20582	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ ran (,)
5	1, 4	eqtr4i 2635	1 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∪ cuni 4372  ran crn 5039  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  (,)cioo 12046  topGenctg 15921  TopBasesctb 20520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ioo 12050  df-topgen 15927  df-bases 20522

This theorem is referenced by:  retopon  22377  retps  22378  icccld  22380  icopnfcld  22381  iocmnfcld  22382  qdensere  22383  zcld  22424  iccntr  22432  icccmp  22436  retopcon  22440  opnreen  22442  rectbntr0  22443  cnmpt2pc  22535  evth  22566  evth2  22567  evthicc  23035  ovolicc2  23097  opnmbllem  23175  lhop  23583  dvcnvrelem2  23585  dvcnvre  23586  ftc1  23609  taylthlem2  23932  ipasslem8  27076  circtopn  29232  tpr2rico  29286  rrhf  29370  rrhqima  29386  rrhre  29393  brsigarn  29574  unibrsiga  29576  sxbrsigalem3  29661  dya2iocucvr  29673  sxbrsigalem1  29674  orrvcval4  29853  orrvcoel  29854  orrvccel  29855  retopscon  30485  cvmliftlem10  30530  ivthALT  31500  ptrecube  32579  poimirlem29  32608  poimirlem30  32609  poimirlem31  32610  opnmbllem0  32615  mblfinlem1  32616  mblfinlem2  32617  mblfinlem3  32618  mblfinlem4  32619  ismblfin  32620  ftc1cnnc  32654  refsum2cnlem1  38219  sncldre  38232  reopn  38442  ioontr  38583  limciccioolb  38688  limcicciooub  38704  lptre2pt  38707  limclner  38718  limclr  38722  cncfiooicclem1  38779  fperdvper  38808  itgsubsticclem  38867  stoweidlem62  38955  dirkercncflem2  38997  dirkercncflem3  38998  dirkercncflem4  38999  fourierdlem42  39042  fourierdlem58  39057  fourierdlem73  39072  fouriercnp  39119  fouriercn  39125  cnfsmf  39627  incsmf  39629  decsmf  39653  smfpimbor1lem2  39684