Theorem cnf2 20863

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 20849	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 651	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1251	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ^◡ccnv 5037   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-top 20521  df-topon 20523  df-cn 20841

This theorem is referenced by:  iscncl  20883  cncls2  20887  cncls  20888  cnntr  20889  cnrest2  20900  cnrest2r  20901  ptcn  21240  txdis1cn  21248  lmcn2  21262  cnmpt11  21276  cnmpt1t  21278  cnmpt12  21280  cnmpt21  21284  cnmpt2t  21286  cnmpt22  21287  cnmpt22f  21288  cnmptcom  21291  cnmptkp  21293  cnmptk1  21294  cnmpt1k  21295  cnmptkk  21296  cnmptk1p  21298  cnmptk2  21299  cnmpt2k  21301  qtopss  21328  qtopeu  21329  qtopomap  21331  qtopcmap  21332  hmeof1o2  21376  xpstopnlem1  21422  xkocnv  21427  xkohmeo  21428  qtophmeo  21430  cnmpt1plusg  21701  cnmpt2plusg  21702  tsmsmhm  21759  cnmpt1vsca  21807  cnmpt2vsca  21808  cnmpt1ds  22453  cnmpt2ds  22454  fsumcn  22481  cnmpt2pc  22535  htpyco1  22585  htpyco2  22586  phtpyco2  22597  pi1xfrf  22661  pi1xfr  22663  pi1xfrcnvlem  22664  pi1xfrcnv  22665  pi1cof  22667  pi1coghm  22669  cnmpt1ip  22854  cnmpt2ip  22855  txsconlem  30476  txscon  30477  cvmlift3lem6  30560  fcnre  38207  refsumcn  38212  refsum2cnlem1  38219  fprodcnlem  38666  icccncfext  38773  itgsubsticclem  38867