Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumpair Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumpair 38217
 Description: Sum of two distinct complex values. The class expression for 𝐴 and 𝐵 normally contain free variable 𝑘 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sumpair.1 (𝜑𝑘𝐷)
sumpair.3 (𝜑𝑘𝐸)
sumupair.1 (𝜑𝐴𝑉)
sumupair.2 (𝜑𝐵𝑊)
sumupair.3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
sumupair.4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
sumupair.5 (𝜑𝐴𝐵)
sumupair.8 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
sumupair.9 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
sumpair (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sumpair
StepHypRef Expression
1 sumupair.5 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
2 disjsn2 4193 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4 df-pr 4128 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6 prfi 8120 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8 elpri 4145 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵))
9 sumupair.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
10 sumupair.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
129, 11eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13 sumupair.9 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
14 sumupair.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐸 ∈ ℂ)
1613, 15eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
1712, 16jaodan 822 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
188, 17sylan2 490 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℂ)
193, 5, 7, 18fsumsplit 14318 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
20 sumpair.1 . . . 4 (𝜑𝑘𝐷)
21 nfv 1830 . . . 4 𝑘𝜑
22 sumupair.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
2320, 21, 9, 22, 10sumsnd 38208 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
24 sumpair.3 . . . 4 (𝜑𝑘𝐸)
25 sumupair.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
2624, 21, 13, 25, 14sumsnd 38208 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
2723, 26oveq12d 6567 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 + 𝐸))
2819, 27eqtrd 2644 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813   + caddc 9818  Σcsu 14264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  38219
 Copyright terms: Public domain W3C validator