Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refsum2cnlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem refsum2cnlem1 37421
 Description: This is the core Lemma for refsum2cn 37422: the sum of two continuous real functions (from a common topological space) is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
refsum2cnlem1.1
refsum2cnlem1.2
refsum2cnlem1.3
refsum2cnlem1.4
refsum2cnlem1.5
refsum2cnlem1.6
refsum2cnlem1.7 TopOn
refsum2cnlem1.8
refsum2cnlem1.9
Assertion
Ref Expression
refsum2cnlem1
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem refsum2cnlem1
StepHypRef Expression
1 refsum2cnlem1.4 . . 3
2 refsum2cnlem1.5 . . . . . . . . 9
3 nfmpt1 4485 . . . . . . . . 9
42, 3nfcxfr 2610 . . . . . . . 8
5 nfcv 2612 . . . . . . . 8
64, 5nffv 5886 . . . . . . 7
7 nfcv 2612 . . . . . . 7
86, 7nffv 5886 . . . . . 6
98a1i 11 . . . . 5
10 nfcv 2612 . . . . . . . 8
114, 10nffv 5886 . . . . . . 7
1211, 7nffv 5886 . . . . . 6
1312a1i 11 . . . . 5
14 1cnd 9677 . . . . 5
15 2cnd 10704 . . . . 5
16 1ex 9656 . . . . . . . . . . 11
1716prid1 4071 . . . . . . . . . 10
18 refsum2cnlem1.8 . . . . . . . . . . 11
19 refsum2cnlem1.9 . . . . . . . . . . 11
2018, 19ifcld 3915 . . . . . . . . . 10
21 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . 12
2221ifbid 3894 . . . . . . . . . . 11
2322, 2fvmptg 5961 . . . . . . . . . 10
2417, 20, 23sylancr 676 . . . . . . . . 9
25 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
2625iftruei 3879 . . . . . . . . 9
2724, 26syl6eq 2521 . . . . . . . 8
2827adantr 472 . . . . . . 7
2928fveq1d 5881 . . . . . 6
30 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
31 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
3230, 31cnf 20339 . . . . . . . . . 10
3318, 32syl 17 . . . . . . . . 9
34 refsum2cnlem1.7 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
35 toponuni 20019 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11
3736eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10
38 refsum2cnlem1.6 . . . . . . . . . . . . 13
3938unieqi 4199 . . . . . . . . . . . 12
40 uniretop 21861 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . 11
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10
4337, 42feq23d 5734 . . . . . . . . 9
4433, 43mpbid 215 . . . . . . . 8
4544anim1i 578 . . . . . . 7
46 ffvelrn 6035 . . . . . . 7
47 recn 9647 . . . . . . 7
4845, 46, 473syl 18 . . . . . 6
4929, 48eqeltrd 2549 . . . . 5
50 2ex 10703 . . . . . . . . . . 11
5150prid2 4072 . . . . . . . . . 10
5218, 19ifcld 3915 . . . . . . . . . 10
53 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . 12
5453ifbid 3894 . . . . . . . . . . 11
5554, 2fvmptg 5961 . . . . . . . . . 10
5651, 52, 55sylancr 676 . . . . . . . . 9
57 1ne2 10845 . . . . . . . . . . 11
5857nesymi 2700 . . . . . . . . . 10
5958iffalsei 3882 . . . . . . . . 9
6056, 59syl6eq 2521 . . . . . . . 8
6160adantr 472 . . . . . . 7
6261fveq1d 5881 . . . . . 6
6330, 31cnf 20339 . . . . . . . . . 10
6419, 63syl 17 . . . . . . . . 9
6537, 42feq23d 5734 . . . . . . . . 9
6664, 65mpbid 215 . . . . . . . 8
6766anim1i 578 . . . . . . 7
68 ffvelrn 6035 . . . . . . 7
69 recn 9647 . . . . . . 7
7067, 68, 693syl 18 . . . . . 6
7162, 70eqeltrd 2549 . . . . 5
7257a1i 11 . . . . 5
73 fveq2 5879 . . . . . . 7
7473fveq1d 5881 . . . . . 6
7574adantl 473 . . . . 5
76 fveq2 5879 . . . . . . 7
7776fveq1d 5881 . . . . . 6
7877adantl 473 . . . . 5
799, 13, 14, 15, 49, 71, 72, 75, 78sumpair 37419 . . . 4
8029, 62oveq12d 6326 . . . 4
8179, 80eqtrd 2505 . . 3
821, 81mpteq2da 4481 . 2
83 prfi 7864 . . . 4
8483a1i 11 . . 3
85 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
8685ax-gen 1677 . . . . . . . . 9
87 refsum2cnlem1.1 . . . . . . . . . . . 12
88 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
8987, 88nffv 5886 . . . . . . . . . . 11
90 refsum2cnlem1.2 . . . . . . . . . . 11
9189, 90nfeq 2623 . . . . . . . . . 10
92 fveq1 5878 . . . . . . . . . . 11
9392a1d 25 . . . . . . . . . 10
9491, 93ralrimi 2800 . . . . . . . . 9
95 mpteq12f 4472 . . . . . . . . 9
9686, 94, 95sylancr 676 . . . . . . . 8
9796adantl 473 . . . . . . 7
98 retopon 21862 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
9938, 98eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
10099a1i 11 . . . . . . . . . . 11 TopOn
101 cnf2 20342 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
10234, 100, 18, 101syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
103 ffn 5739 . . . . . . . . . 10
104102, 103syl 17 . . . . . . . . 9
10590dffn5f 5935 . . . . . . . . 9
106104, 105sylib 201 . . . . . . . 8
107106adantr 472 . . . . . . 7
10897, 107eqtr4d 2508 . . . . . 6
10918adantr 472 . . . . . 6
110108, 109eqeltrd 2549 . . . . 5
111110adantlr 729 . . . 4
112 refsum2cnlem1.3 . . . . . . . . . . 11
11389, 112nfeq 2623 . . . . . . . . . 10
114 fveq1 5878 . . . . . . . . . . 11
115114a1d 25 . . . . . . . . . 10
116113, 115ralrimi 2800 . . . . . . . . 9
117 mpteq12f 4472 . . . . . . . . 9
11886, 116, 117sylancr 676 . . . . . . . 8
119118adantl 473 . . . . . . 7
120 cnf2 20342 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
12134, 100, 19, 120syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
122 ffn 5739 . . . . . . . . . 10
123121, 122syl 17 . . . . . . . . 9
124112dffn5f 5935 . . . . . . . . 9
125123, 124sylib 201 . . . . . . . 8
126125adantr 472 . . . . . . 7
127119, 126eqtr4d 2508 . . . . . 6
12819adantr 472 . . . . . 6
129127, 128eqeltrd 2549 . . . . 5
130129adantlr 729 . . . 4
131 simpr 468 . . . . . . . 8
13218, 19ifcld 3915 . . . . . . . . 9
133132adantr 472 . . . . . . . 8
1342fvmpt2 5972 . . . . . . . 8
135131, 133, 134syl2anc 673 . . . . . . 7
136 iftrue 3878 . . . . . . 7
137135, 136sylan9eq 2525 . . . . . 6
138137orcd 399 . . . . 5
139135adantr 472 . . . . . . 7
140 neeq2 2706 . . . . . . . . . . . 12
14157, 140mpbiri 241 . . . . . . . . . . 11
142141necomd 2698 . . . . . . . . . 10
143142neneqd 2648 . . . . . . . . 9
144143adantl 473 . . . . . . . 8
145144iffalsed 3883 . . . . . . 7
146139, 145eqtrd 2505 . . . . . 6
147146olcd 400 . . . . 5
148 elpri 3976 . . . . . 6
149148adantl 473 . . . . 5
150138, 147, 149mpjaodan 803 . . . 4
151111, 130, 150mpjaodan 803 . . 3
1521, 38, 34, 84, 151refsumcn 37414 . 2
15382, 152eqeltrrd 2550 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 375   wa 376  wal 1450   wceq 1452  wnf 1675   wcel 1904  wnfc 2599   wne 2641  wral 2756  cif 3872  cpr 3961  cuni 4190   cmpt 4454   crn 4840   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  c1 9558   caddc 9560  c2 10681  cioo 11660  csu 13829  ctg 15414  TopOnctopon 19995   ccn 20317 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415 This theorem is referenced by:  refsum2cn  37422
 Copyright terms: Public domain W3C validator