Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgraex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgraex 25852
 Description: An edge is an unordered pair of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgraex ((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem umgraex
StepHypRef Expression
1 umgran0 25849 . . . 4 ((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (𝐸𝐹) ≠ ∅)
2 n0 3890 . . . 4 ((𝐸𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐸𝐹))
31, 2sylib 207 . . 3 ((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐸𝐹))
4 umgrass 25848 . . . . . . 7 ((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (𝐸𝐹) ⊆ 𝑉)
54sselda 3568 . . . . . 6 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) → 𝑥𝑉)
65adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) ∧ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅) → 𝑥𝑉)
7 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) ∧ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅) → ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅)
8 ssdif0 3896 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐹) ⊆ {𝑥} ↔ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅)
97, 8sylibr 223 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) ∧ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅) → (𝐸𝐹) ⊆ {𝑥})
10 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐹))
1110snssd 4281 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) → {𝑥} ⊆ (𝐸𝐹))
1211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) ∧ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅) → {𝑥} ⊆ (𝐸𝐹))
139, 12eqssd 3585 . . . . . . . 8 ((((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) ∧ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅) → (𝐸𝐹) = {𝑥})
14 preq2 4213 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → {𝑥, 𝑦} = {𝑥, 𝑥})
15 dfsn2 4138 . . . . . . . . . . 11 {𝑥} = {𝑥, 𝑥}
1614, 15syl6eqr 2662 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → {𝑥, 𝑦} = {𝑥})
1716eqeq2d 2620 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝐸𝐹) = {𝑥}))
1817rspcev 3282 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑉 ∧ (𝐸𝐹) = {𝑥}) → ∃𝑦𝑉 (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦})
196, 13, 18syl2anc 691 . . . . . . 7 ((((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) ∧ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}) = ∅) → ∃𝑦𝑉 (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦})
20 n0 3890 . . . . . . . 8 (((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))
214adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → (𝐸𝐹) ⊆ 𝑉)
22 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))
2322eldifad 3552 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → 𝑦 ∈ (𝐸𝐹))
2421, 23sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → 𝑦𝑉)
25 umgrafi 25851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (𝐸𝐹) ∈ Fin)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → (𝐸𝐹) ∈ Fin)
27 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐹))
28 prssi 4293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (𝐸𝐹)) → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝐸𝐹))
2927, 23, 28syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝐸𝐹))
30 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸𝐹) ∈ V
31 ssdomg 7887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐸𝐹) ∈ V → ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝐸𝐹) → {𝑥, 𝑦} ≼ (𝐸𝐹)))
3230, 29, 31mpsyl 66 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → {𝑥, 𝑦} ≼ (𝐸𝐹))
33 umgrale 25850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (#‘(𝐸𝐹)) ≤ 2)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → (#‘(𝐸𝐹)) ≤ 2)
35 eldifsni 4261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}) → 𝑦𝑥)
3635ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → 𝑦𝑥)
3736necomd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → 𝑥𝑦)
38 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ∈ V
39 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ V
40 hashprgOLD 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥𝑦 ↔ (#‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
4138, 39, 40mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑦 ↔ (#‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
4237, 41sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → (#‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
4334, 42breqtrrd 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → (#‘(𝐸𝐹)) ≤ (#‘{𝑥, 𝑦}))
44 prfi 8120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥, 𝑦} ∈ Fin
45 hashdom 13029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐸𝐹) ∈ Fin ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ Fin) → ((#‘(𝐸𝐹)) ≤ (#‘{𝑥, 𝑦}) ↔ (𝐸𝐹) ≼ {𝑥, 𝑦}))
4626, 44, 45sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → ((#‘(𝐸𝐹)) ≤ (#‘{𝑥, 𝑦}) ↔ (𝐸𝐹) ≼ {𝑥, 𝑦}))
4743, 46mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → (𝐸𝐹) ≼ {𝑥, 𝑦})
48 sbth 7965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({𝑥, 𝑦} ≼ (𝐸𝐹) ∧ (𝐸𝐹) ≼ {𝑥, 𝑦}) → {𝑥, 𝑦} ≈ (𝐸𝐹))
4932, 47, 48syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → {𝑥, 𝑦} ≈ (𝐸𝐹))
50 fisseneq 8056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐸𝐹) ∈ Fin ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝐸𝐹) ∧ {𝑥, 𝑦} ≈ (𝐸𝐹)) → {𝑥, 𝑦} = (𝐸𝐹))
5126, 29, 49, 50syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → {𝑥, 𝑦} = (𝐸𝐹))
5251eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦})
5324, 52jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}))) → (𝑦𝑉 ∧ (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦}))
5453expr 641 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) → (𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}) → (𝑦𝑉 ∧ (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦})))
5554eximdv 1833 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) → (∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}) → ∃𝑦(𝑦𝑉 ∧ (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦})))
5655imp 444 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥})) → ∃𝑦(𝑦𝑉 ∧ (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦}))
57 df-rex 2902 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝑉 (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦} ↔ ∃𝑦(𝑦𝑉 ∧ (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦}))
5856, 57sylibr 223 . . . . . . . 8 ((((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥})) → ∃𝑦𝑉 (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦})
5920, 58sylan2b 491 . . . . . . 7 ((((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) ∧ ((𝐸𝐹) ∖ {𝑥}) ≠ ∅) → ∃𝑦𝑉 (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦})
6019, 59pm2.61dane 2869 . . . . . 6 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) → ∃𝑦𝑉 (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦})
615, 60jca 553 . . . . 5 (((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝐹)) → (𝑥𝑉 ∧ ∃𝑦𝑉 (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦}))
6261ex 449 . . . 4 ((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐸𝐹) → (𝑥𝑉 ∧ ∃𝑦𝑉 (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦})))
6362eximdv 1833 . . 3 ((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐸𝐹) → ∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ ∃𝑦𝑉 (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦})))
643, 63mpd 15 . 2 ((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → ∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ ∃𝑦𝑉 (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦}))
65 df-rex 2902 . 2 (∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦} ↔ ∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ ∃𝑦𝑉 (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦}))
6664, 65sylibr 223 1 ((𝑉 UMGrph 𝐸𝐸 Fn 𝐴𝐹𝐴) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝐸𝐹) = {𝑥, 𝑦})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  Fincfn 7841   ≤ cle 9954  2c2 10947  #chash 12979   UMGrph cumg 25841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-umgra 25842 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator