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Theorem umgraex 23192
Description: An edge is an unordered pair of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgraex  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, E, y    x, F, y    x, V, y

Proof of Theorem umgraex
StepHypRef Expression
1 umgran0 23189 . . . 4  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  =/=  (/) )
2 n0 3643 . . . 4  |-  ( ( E `  F )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( E `  F
) )
31, 2sylib 196 . . 3  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  x  e.  ( E `  F ) )
4 umgrass 23188 . . . . . . 7  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  C_  V
)
54sselda 3353 . . . . . 6  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  x  e.  V )
65adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  x  e.  V )
7 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( ( E `  F )  \  {
x } )  =  (/) )
8 ssdif0 3734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  F ) 
C_  { x }  <->  ( ( E `  F
)  \  { x } )  =  (/) )
97, 8sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( E `  F
)  C_  { x } )
10 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  x  e.  ( E `  F ) )
1110snssd 4015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  { x }  C_  ( E `  F ) )
1211adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  { x }  C_  ( E `  F ) )
139, 12eqssd 3370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( E `  F
)  =  { x } )
14 preq2 3952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  { x ,  y }  =  { x ,  x } )
15 dfsn2 3887 . . . . . . . . . . 11  |-  { x }  =  { x ,  x }
1614, 15syl6eqr 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  { x ,  y }  =  { x } )
1716eqeq2d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( E `  F
)  =  { x ,  y }  <->  ( E `  F )  =  {
x } ) )
1817rspcev 3070 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( E `  F )  =  { x }
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
196, 13, 18syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } )
20 n0 3643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  F
)  \  { x } )  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )
214adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  C_  V
)
22 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) )
2322eldifad 3337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  ( E `  F ) )
2421, 23sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  V
)
25 umgrafi 23191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
2625adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
27 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  x  e.  ( E `  F ) )
28 prssi 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( E `
 F )  /\  y  e.  ( E `  F ) )  ->  { x ,  y }  C_  ( E `  F ) )
2927, 23, 28syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  C_  ( E `  F )
)
30 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E `
 F )  e. 
_V
31 ssdomg 7351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  F )  e.  _V  ->  ( { x ,  y }  C_  ( E `  F )  ->  { x ,  y }  ~<_  ( E `
 F ) ) )
3230, 29, 31mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  ~<_  ( E `
 F ) )
33 umgrale 23190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
3433adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
35 eldifsni 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( E `
 F )  \  { x } )  ->  y  =/=  x
)
3635ad2antll 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  =/=  x
)
3736necomd 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  x  =/=  y
)
38 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  e. 
_V
39 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  e. 
_V
40 hashprg 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x  =/=  y  <->  (
# `  { x ,  y } )  =  2 ) )
4138, 39, 40mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =/=  y  <->  ( # `  {
x ,  y } )  =  2 )
4237, 41sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  {
x ,  y } )  =  2 )
4334, 42breqtrrd 4315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  ( # `  {
x ,  y } ) )
44 prfi 7582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x ,  y }  e.  Fin
45 hashdom 12138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( E `  F
)  e.  Fin  /\  { x ,  y }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( E `  F )
)  <_  ( # `  {
x ,  y } )  <->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } ) )
4626, 44, 45sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( ( # `  ( E `  F
) )  <_  ( # `
 { x ,  y } )  <->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } ) )
4743, 46mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } )
48 sbth 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { x ,  y }  ~<_  ( E `  F )  /\  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } )  ->  { x ,  y }  ~~  ( E `  F ) )
4932, 47, 48syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  ~~  ( E `  F )
)
50 fisseneq 7520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E `  F
)  e.  Fin  /\  { x ,  y } 
C_  ( E `  F )  /\  {
x ,  y } 
~~  ( E `  F ) )  ->  { x ,  y }  =  ( E `
 F ) )
5126, 29, 49, 50syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  =  ( E `  F ) )
5251eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
5324, 52jca 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 F )  =  { x ,  y } ) )
5453expr 612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( y  e.  ( ( E `  F )  \  {
x } )  -> 
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) ) )
5554eximdv 1681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( E. y  y  e.  (
( E `  F
)  \  { x } )  ->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) ) )
5655imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )  ->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) )
57 df-rex 2719 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y }  <->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) )
5856, 57sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
5920, 58sylan2b 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } )
6019, 59pm2.61dane 2687 . . . . . 6  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
615, 60jca 529 . . . . 5  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } ) )
6261ex 434 . . . 4  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( x  e.  ( E `  F
)  ->  ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } ) ) )
6362eximdv 1681 . . 3  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E. x  x  e.  ( E `  F )  ->  E. x ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) ) )
643, 63mpd 15 . 2  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x
( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) )
65 df-rex 2719 . 2  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y }  <->  E. x ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) )
6664, 65sylibr 212 1  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   {cpr 3876   class class class wbr 4289    Fn wfn 5410   ` cfv 5415    ~~ cen 7303    ~<_ cdom 7304   Fincfn 7306    <_ cle 9415   2c2 10367   #chash 12099   UMGrph cumg 23181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-hash 12100  df-umgra 23182
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