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Theorem umgraex 23262
Description: An edge is an unordered pair of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgraex  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, E, y    x, F, y    x, V, y

Proof of Theorem umgraex
StepHypRef Expression
1 umgran0 23259 . . . 4  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  =/=  (/) )
2 n0 3651 . . . 4  |-  ( ( E `  F )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( E `  F
) )
31, 2sylib 196 . . 3  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  x  e.  ( E `  F ) )
4 umgrass 23258 . . . . . . 7  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  C_  V
)
54sselda 3361 . . . . . 6  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  x  e.  V )
65adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  x  e.  V )
7 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( ( E `  F )  \  {
x } )  =  (/) )
8 ssdif0 3742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  F ) 
C_  { x }  <->  ( ( E `  F
)  \  { x } )  =  (/) )
97, 8sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( E `  F
)  C_  { x } )
10 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  x  e.  ( E `  F ) )
1110snssd 4023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  { x }  C_  ( E `  F ) )
1211adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  { x }  C_  ( E `  F ) )
139, 12eqssd 3378 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( E `  F
)  =  { x } )
14 preq2 3960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  { x ,  y }  =  { x ,  x } )
15 dfsn2 3895 . . . . . . . . . . 11  |-  { x }  =  { x ,  x }
1614, 15syl6eqr 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  { x ,  y }  =  { x } )
1716eqeq2d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( E `  F
)  =  { x ,  y }  <->  ( E `  F )  =  {
x } ) )
1817rspcev 3078 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( E `  F )  =  { x }
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
196, 13, 18syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } )
20 n0 3651 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  F
)  \  { x } )  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )
214adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  C_  V
)
22 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) )
2322eldifad 3345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  ( E `  F ) )
2421, 23sseldd 3362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  V
)
25 umgrafi 23261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
27 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  x  e.  ( E `  F ) )
28 prssi 4034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( E `
 F )  /\  y  e.  ( E `  F ) )  ->  { x ,  y }  C_  ( E `  F ) )
2927, 23, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  C_  ( E `  F )
)
30 fvex 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E `
 F )  e. 
_V
31 ssdomg 7360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  F )  e.  _V  ->  ( { x ,  y }  C_  ( E `  F )  ->  { x ,  y }  ~<_  ( E `
 F ) ) )
3230, 29, 31mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  ~<_  ( E `
 F ) )
33 umgrale 23260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
35 eldifsni 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( E `
 F )  \  { x } )  ->  y  =/=  x
)
3635ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  =/=  x
)
3736necomd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  x  =/=  y
)
38 vex 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  e. 
_V
39 vex 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  e. 
_V
40 hashprg 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x  =/=  y  <->  (
# `  { x ,  y } )  =  2 ) )
4138, 39, 40mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =/=  y  <->  ( # `  {
x ,  y } )  =  2 )
4237, 41sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  {
x ,  y } )  =  2 )
4334, 42breqtrrd 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  ( # `  {
x ,  y } ) )
44 prfi 7591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x ,  y }  e.  Fin
45 hashdom 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( E `  F
)  e.  Fin  /\  { x ,  y }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( E `  F )
)  <_  ( # `  {
x ,  y } )  <->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } ) )
4626, 44, 45sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( ( # `  ( E `  F
) )  <_  ( # `
 { x ,  y } )  <->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } ) )
4743, 46mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } )
48 sbth 7436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { x ,  y }  ~<_  ( E `  F )  /\  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } )  ->  { x ,  y }  ~~  ( E `  F ) )
4932, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  ~~  ( E `  F )
)
50 fisseneq 7529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E `  F
)  e.  Fin  /\  { x ,  y } 
C_  ( E `  F )  /\  {
x ,  y } 
~~  ( E `  F ) )  ->  { x ,  y }  =  ( E `
 F ) )
5126, 29, 49, 50syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  =  ( E `  F ) )
5251eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
5324, 52jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 F )  =  { x ,  y } ) )
5453expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( y  e.  ( ( E `  F )  \  {
x } )  -> 
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) ) )
5554eximdv 1676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( E. y  y  e.  (
( E `  F
)  \  { x } )  ->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) ) )
5655imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )  ->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) )
57 df-rex 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y }  <->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) )
5856, 57sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
5920, 58sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } )
6019, 59pm2.61dane 2694 . . . . . 6  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
615, 60jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } ) )
6261ex 434 . . . 4  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( x  e.  ( E `  F
)  ->  ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } ) ) )
6362eximdv 1676 . . 3  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E. x  x  e.  ( E `  F )  ->  E. x ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) ) )
643, 63mpd 15 . 2  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x
( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) )
65 df-rex 2726 . 2  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y }  <->  E. x ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) )
6664, 65sylibr 212 1  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2611   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    C_ wss 3333   (/)c0 3642   {csn 3882   {cpr 3884   class class class wbr 4297    Fn wfn 5418   ` cfv 5423    ~~ cen 7312    ~<_ cdom 7313   Fincfn 7315    <_ cle 9424   2c2 10376   #chash 12108   UMGrph cumg 23251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-hash 12109  df-umgra 23252
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