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Theorem umgraex 24752
Description: An edge is an unordered pair of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgraex  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, E, y    x, F, y    x, V, y

Proof of Theorem umgraex
StepHypRef Expression
1 umgran0 24749 . . . 4  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  =/=  (/) )
2 n0 3750 . . . 4  |-  ( ( E `  F )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( E `  F
) )
31, 2sylib 198 . . 3  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  x  e.  ( E `  F ) )
4 umgrass 24748 . . . . . . 7  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  C_  V
)
54sselda 3444 . . . . . 6  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  x  e.  V )
65adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  x  e.  V )
7 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( ( E `  F )  \  {
x } )  =  (/) )
8 ssdif0 3830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  F ) 
C_  { x }  <->  ( ( E `  F
)  \  { x } )  =  (/) )
97, 8sylibr 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( E `  F
)  C_  { x } )
10 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  x  e.  ( E `  F ) )
1110snssd 4119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  { x }  C_  ( E `  F ) )
1211adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  { x }  C_  ( E `  F ) )
139, 12eqssd 3461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( E `  F
)  =  { x } )
14 preq2 4054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  { x ,  y }  =  { x ,  x } )
15 dfsn2 3987 . . . . . . . . . . 11  |-  { x }  =  { x ,  x }
1614, 15syl6eqr 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  { x ,  y }  =  { x } )
1716eqeq2d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( E `  F
)  =  { x ,  y }  <->  ( E `  F )  =  {
x } ) )
1817rspcev 3162 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( E `  F )  =  { x }
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
196, 13, 18syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } )
20 n0 3750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  F
)  \  { x } )  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )
214adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  C_  V
)
22 simprr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) )
2322eldifad 3428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  ( E `  F ) )
2421, 23sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  V
)
25 umgrafi 24751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
27 simprl 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  x  e.  ( E `  F ) )
28 prssi 4130 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( E `
 F )  /\  y  e.  ( E `  F ) )  ->  { x ,  y }  C_  ( E `  F ) )
2927, 23, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  C_  ( E `  F )
)
30 fvex 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E `
 F )  e. 
_V
31 ssdomg 7601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  F )  e.  _V  ->  ( { x ,  y }  C_  ( E `  F )  ->  { x ,  y }  ~<_  ( E `
 F ) ) )
3230, 29, 31mpsyl 64 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  ~<_  ( E `
 F ) )
33 umgrale 24750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
35 eldifsni 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( E `
 F )  \  { x } )  ->  y  =/=  x
)
3635ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  =/=  x
)
3736necomd 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  x  =/=  y
)
38 vex 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  e. 
_V
39 vex 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  e. 
_V
40 hashprg 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x  =/=  y  <->  (
# `  { x ,  y } )  =  2 ) )
4138, 39, 40mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =/=  y  <->  ( # `  {
x ,  y } )  =  2 )
4237, 41sylib 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  {
x ,  y } )  =  2 )
4334, 42breqtrrd 4423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  ( # `  {
x ,  y } ) )
44 prfi 7831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x ,  y }  e.  Fin
45 hashdom 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( E `  F
)  e.  Fin  /\  { x ,  y }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( E `  F )
)  <_  ( # `  {
x ,  y } )  <->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } ) )
4626, 44, 45sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( ( # `  ( E `  F
) )  <_  ( # `
 { x ,  y } )  <->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } ) )
4743, 46mpbid 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } )
48 sbth 7677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { x ,  y }  ~<_  ( E `  F )  /\  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } )  ->  { x ,  y }  ~~  ( E `  F ) )
4932, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  ~~  ( E `  F )
)
50 fisseneq 7768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E `  F
)  e.  Fin  /\  { x ,  y } 
C_  ( E `  F )  /\  {
x ,  y } 
~~  ( E `  F ) )  ->  { x ,  y }  =  ( E `
 F ) )
5126, 29, 49, 50syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  =  ( E `  F ) )
5251eqcomd 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
5324, 52jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 F )  =  { x ,  y } ) )
5453expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( y  e.  ( ( E `  F )  \  {
x } )  -> 
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) ) )
5554eximdv 1733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( E. y  y  e.  (
( E `  F
)  \  { x } )  ->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) ) )
5655imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )  ->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) )
57 df-rex 2762 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y }  <->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) )
5856, 57sylibr 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
5920, 58sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } )
6019, 59pm2.61dane 2723 . . . . . 6  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
615, 60jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } ) )
6261ex 434 . . . 4  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( x  e.  ( E `  F
)  ->  ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } ) ) )
6362eximdv 1733 . . 3  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E. x  x  e.  ( E `  F )  ->  E. x ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) ) )
643, 63mpd 15 . 2  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x
( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) )
65 df-rex 2762 . 2  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y }  <->  E. x ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) )
6664, 65sylibr 214 1  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407   E.wex 1635    e. wcel 1844    =/= wne 2600   E.wrex 2757   _Vcvv 3061    \ cdif 3413    C_ wss 3416   (/)c0 3740   {csn 3974   {cpr 3976   class class class wbr 4397    Fn wfn 5566   ` cfv 5571    ~~ cen 7553    ~<_ cdom 7554   Fincfn 7556    <_ cle 9661   2c2 10628   #chash 12454   UMGrph cumg 24741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-hash 12455  df-umgra 24742
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