Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm2lem 15232
 Description: Lemma for isprm2 15233. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
isprm2lem ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2𝑜 ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
Distinct variable group:   𝑃,𝑛

Proof of Theorem isprm2lem
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 2844 . . . 4 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≠ 1 ↔ 𝑃 ≠ 1))
2 breq2 4587 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑛𝑝𝑛𝑃))
32rabbidv 3164 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})
43breq1d 4593 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜 ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2𝑜))
5 preq2 4213 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → {1, 𝑝} = {1, 𝑃})
63, 5eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} = {1, 𝑝} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
74, 6bibi12d 334 . . . 4 (𝑝 = 𝑃 → (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜 ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} = {1, 𝑝}) ↔ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2𝑜 ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃})))
81, 7imbi12d 333 . . 3 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ≠ 1 → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜 ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} = {1, 𝑝})) ↔ (𝑃 ≠ 1 → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2𝑜 ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))))
9 1idssfct 15231 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℕ → {1, 𝑝} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝})
10 disjsn 4192 . . . . . . . . . . . 12 (({1} ∩ {𝑝}) = ∅ ↔ ¬ 𝑝 ∈ {1})
11 1ex 9914 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
1211ensn1 7906 . . . . . . . . . . . . 13 {1} ≈ 1𝑜
13 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑝 ∈ V
1413ensn1 7906 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑝} ≈ 1𝑜
15 pm54.43 8709 . . . . . . . . . . . . 13 (({1} ≈ 1𝑜 ∧ {𝑝} ≈ 1𝑜) → (({1} ∩ {𝑝}) = ∅ ↔ ({1} ∪ {𝑝}) ≈ 2𝑜))
1612, 14, 15mp2an 704 . . . . . . . . . . . 12 (({1} ∩ {𝑝}) = ∅ ↔ ({1} ∪ {𝑝}) ≈ 2𝑜)
1710, 16bitr3i 265 . . . . . . . . . . 11 𝑝 ∈ {1} ↔ ({1} ∪ {𝑝}) ≈ 2𝑜)
18 velsn 4141 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ {1} ↔ 𝑝 = 1)
1917, 18xchnxbi 321 . . . . . . . . . 10 𝑝 = 1 ↔ ({1} ∪ {𝑝}) ≈ 2𝑜)
20 df-ne 2782 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑝 = 1)
21 df-pr 4128 . . . . . . . . . . 11 {1, 𝑝} = ({1} ∪ {𝑝})
2221breq1i 4590 . . . . . . . . . 10 ({1, 𝑝} ≈ 2𝑜 ↔ ({1} ∪ {𝑝}) ≈ 2𝑜)
2319, 20, 223bitr4i 291 . . . . . . . . 9 (𝑝 ≠ 1 ↔ {1, 𝑝} ≈ 2𝑜)
24 ensym 7891 . . . . . . . . . 10 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜 → 2𝑜 ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝})
25 entr 7894 . . . . . . . . . 10 (({1, 𝑝} ≈ 2𝑜 ∧ 2𝑜 ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝}) → {1, 𝑝} ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝})
2624, 25sylan2 490 . . . . . . . . 9 (({1, 𝑝} ≈ 2𝑜 ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜) → {1, 𝑝} ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝})
2723, 26sylanb 488 . . . . . . . 8 ((𝑝 ≠ 1 ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜) → {1, 𝑝} ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝})
28 prfi 8120 . . . . . . . . . . 11 {1, 𝑝} ∈ Fin
29 ensym 7891 . . . . . . . . . . 11 ({1, 𝑝} ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ {1, 𝑝})
30 enfii 8062 . . . . . . . . . . 11 (({1, 𝑝} ∈ Fin ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ {1, 𝑝}) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ∈ Fin)
3128, 29, 30sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ({1, 𝑝} ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ∈ Fin)
3231adantl 481 . . . . . . . . 9 (({1, 𝑝} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ∧ {1, 𝑝} ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝}) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ∈ Fin)
33 dfpss2 3654 . . . . . . . . . . . 12 ({1, 𝑝} ⊊ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ↔ ({1, 𝑝} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ∧ ¬ {1, 𝑝} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝}))
34 pssinf 8055 . . . . . . . . . . . 12 (({1, 𝑝} ⊊ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ∧ {1, 𝑝} ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝}) → ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ∈ Fin)
3533, 34sylanbr 489 . . . . . . . . . . 11 ((({1, 𝑝} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ∧ ¬ {1, 𝑝} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝}) ∧ {1, 𝑝} ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝}) → ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ∈ Fin)
3635an32s 842 . . . . . . . . . 10 ((({1, 𝑝} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ∧ {1, 𝑝} ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝}) ∧ ¬ {1, 𝑝} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝}) → ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ∈ Fin)
3736ex 449 . . . . . . . . 9 (({1, 𝑝} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ∧ {1, 𝑝} ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝}) → (¬ {1, 𝑝} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} → ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ∈ Fin))
3832, 37mt4d 151 . . . . . . . 8 (({1, 𝑝} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ∧ {1, 𝑝} ≈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝}) → {1, 𝑝} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝})
399, 27, 38syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ≠ 1 ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜)) → {1, 𝑝} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝})
4039eqcomd 2616 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ≠ 1 ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜)) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} = {1, 𝑝})
4140expr 641 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} = {1, 𝑝}))
42 breq1 4586 . . . . . . . 8 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} = {1, 𝑝} → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜 ↔ {1, 𝑝} ≈ 2𝑜))
4342, 23syl6bbr 277 . . . . . . 7 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} = {1, 𝑝} → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜𝑝 ≠ 1))
4443biimprcd 239 . . . . . 6 (𝑝 ≠ 1 → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} = {1, 𝑝} → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜))
4544adantl 481 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} = {1, 𝑝} → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜))
4641, 45impbid 201 . . . 4 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜 ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} = {1, 𝑝}))
4746ex 449 . . 3 (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 ≠ 1 → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} ≈ 2𝑜 ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑝} = {1, 𝑝})))
488, 47vtoclga 3245 . 2 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ≠ 1 → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2𝑜 ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃})))
4948imp 444 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2𝑜 ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   ⊊ wpss 3541  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  1c1 9816  ℕcn 10897   ∥ cdvds 14821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-z 11255  df-dvds 14822 This theorem is referenced by:  isprm2  15233
 Copyright terms: Public domain W3C validator