Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ibliooicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ibliooicc 38863
 Description: If a function is integrable on an open interval, it is integrable on the corresponding closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ibliooicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ibliooicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ibliooicc.3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
ibliooicc.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ibliooicc (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem ibliooicc
StepHypRef Expression
1 ibliooicc.3 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
2 ioossicc 12130 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 ibliooicc.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 ibliooicc.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 38574 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
74rexrd 9968 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
85rexrd 9968 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9 icc0 12094 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
107, 8, 9syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
1110biimpar 501 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
1211difeq1d 3689 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)))
13 0dif 3929 . . . . . . . 8 (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) = ∅
14 0ss 3924 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ {𝐴, 𝐵}
1513, 14eqsstri 3598 . . . . . . 7 (∅ ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵}
1612, 15syl6eqss 3618 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
17 ssid 3587 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))
187adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
198adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
21 iccdifioo 38588 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
2218, 19, 20, 21syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) = {𝐴, 𝐵})
2317, 22syl5sseq 3616 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
2416, 23, 5, 4ltlecasei 10024 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵})
25 prssi 4293 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
264, 5, 25syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
27 prfi 8120 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
28 ovolfi 23069 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
2927, 26, 28sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
30 ovolssnul 23062 . . . . 5 ((((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ {𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0) → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
3124, 26, 29, 30syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∖ (𝐴(,)𝐵))) = 0)
32 ibliooicc.4 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
333, 6, 31, 32itgss3 23387 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1) ∧ ∫(𝐴(,)𝐵)𝐶 d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)𝐶 d𝑥))
3433simpld 474 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1))
351, 34mpbid 221 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  vol*covol 23038  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198 This theorem is referenced by:  fourierdlem69  39068  fourierdlem73  39072  fourierdlem81  39080  fourierdlem93  39092
 Copyright terms: Public domain W3C validator